Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，则

l1

l2

+

l2

l1

的最大值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、2

  2

• D、3

  2

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量的综合题

专题：不等式的解法及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设P（x，y），则Q（x，-1），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，利用数量积运算得到动点P的轨迹C为：x²=4y．设M(a，

a2

4

)．（a∈R）．得到⊙M的方程为：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-2)2．令y=0，则x²-2ax+a²=4，可得A（a+2，0），B（a-2，0）．利用两点之间的距离公式可得|DA|=l₁，|DB|=l₂．当a≠0时，

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

2a2+16

a4+64

变形利用基本不等式即可得出．a=0，直接得出．

解答： 解：如图所示，
设P（x，y），则Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2），
∴2（y+1）=x²-2（y-1），
化为x²=4y．
∴动点P的轨迹C为：x²=4y．
设M(a，

a2

4

)．（a∈R）．
则⊙M的方程为：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-2)2．
化为x2-2ax+y2-

a2

2

y=4-a2．
令y=0，则x²-2ax+a²=4，
解得x=a+2，或a-2．
取A（a+2，0），B（a-2，0）．
∴|DA|=l₁=

(a+2)2+4

，
|DB|=l₂=

(a-2)2+4

．
当a≠0时，

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

2a2+16

a4+64

=2

(a2+8)2 a4+64

=2

1+ 16a2 a4+64

=2

1+ 16 a2+ 64 a2

≤2

1+ 16 2 a2• 64 a2

=2

2

，当且仅当a=±2

2

时取等号．
当a=0时，

l1

l2

+

l2

l1

=2．
综上可得：

l1

l2

+

l2

l1

的最大值为2

2

．
故选：C．

点评：本题综合考查了数量积的运算、点的轨迹方程、两点之间的距离公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．