Question

20．如图在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，顶点S在底面上的投影为A点，M，N分别是AB，SD的中点，且SB=5，AB=3．
（1）证明：MN∥平面SBC；
（2）求三棱锥N-AMD的体积．

Answer 1

分析 （1）取SC的中点P，连结BP，PN．则可通过证明四边形BMNP是平行四边形得出MN∥BP，从而得出MN∥平面SBC；
（2）由SA⊥平面ABCD可得SA=4，于是N到平面ABCD的距离为SA的一半，于是V_N-AMD=$\frac{1}{3}{S}_{△AMD}•\frac{1}{2}SA$．

解答 （1）证明：取SC的中点P，连结BP，PN．
∵P，N分别是SC，SD的中点，
∴PN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，
∴BM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
∴BM$\stackrel{∥}{=}$PN，
∴四边形BMNP是平行四边形，
∴BP∥MN，∵BP?平面SBC，MN?平面SBC，
∴MN∥平面SBC．
（2）∵顶点S在底面上的投影为A点，
∴SA⊥平面ABCD，∴SA=$\sqrt{S{B}^{2}-A{B}^{2}}$=4．
∵N是SD的中点，∴N到平面ABCD的距离d=$\frac{1}{2}SA$=2．
∴V_N-AMD=$\frac{1}{3}{S}_{△AMD}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}×2$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．