Question

定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=

f(b)-f(a)

b-a

，f（x）=f′（x₂）=

f(b)-f(a)

b-a

，则称数x₁，x₂为[a，b]上的“对望数”，函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”．已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+m是[0．m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（1，

  3

  2

  ）
• B、（

  3

  2

  ，3）
• C、（1，2）∪（2，3）
• D、（1，

  3

  2

  ）∪（

  3

  2

  ，3）

Answer 1

考点：导数的运算,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：由新定义可知f′（x₁）=f′（x₂）=

1

3

m²-m，即方程x²-2x=

1

3

m²-m在区间[0，m]有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围

解答： 解：由题意可知，
在区间[0，m]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
满足f′（x₁）=

f(m)-f(0)

m-0

=

1

3

m²-m，
∵f（x）=x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x²-2x=

1

3

m²-m在区间[0，m]有两个解．
令g（x）=x²-2x-

1

3

m²+m，（0＜x＜m）．
则

△=4+ 4 3 m2-4m＞0 g(0)=- 1 3 m2+m＞0 g(m)= 2 3 m2-m＞0 m＞1

，
解得

3

2

＜a＜3，
∴实数a的取值范围是（

3

2

，3）．
故选：B．

点评：本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数f（x）的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m所满足的条件，解之即得所求．属于中档题．