Question

19．已知|${\overrightarrow a}$|=$\frac{1}{2}$|${\overrightarrow b}$|，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|${\overrightarrow a}$|x²+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$x-|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|在R上有极值，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的范围是（　　）

• A． [$0\;，\;\frac{π}{6}$）
• B． $（\frac{π}{6}\;，\;π）$
• C． $（\frac{π}{3}\;，\;π）$
• D． $（\frac{π}{3}\;，\;π$]

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数有零点，可得判别式大于0，由此求得两向量夹角余弦值的范围，进一步得到向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|${\overrightarrow a}$|x²+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$x-|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|在R上有极值，则f'（x）=0有解．
f'（x）=x²+2|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
由f'（x）=0，得f'（x）=x²+2|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴判别式△＞0．即4|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，即4|$\overrightarrow{a}$|²＞4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ．即|$\overrightarrow{a}$|²＞2|$\overrightarrow{a}$|²cosθ．
∴cosθ＜$\frac{1}{2}$，即-1≤cosθ＜$\frac{1}{2}$，
即cosθ的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$），
则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的范围是（$\frac{π}{3}，π$]．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积求向量的夹角，训练了函数的极值与导函数零点的关系的应用，是中档题．