Question

（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，，，顶点在底面内的射影恰为点．

（1）求证：；

（2）若直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的

余弦函数值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）证明:连接，则平面，

∴

在等腰梯形中，连接

∵，∥

∴

∴平面

∴ 6分

（2）由（1）知、、两两垂直，

∵∥ ∴ ∴

在等腰梯形中，连接因，∥，

所以，建立如图空间直角坐标系，

则，，

设平面的一个法向量

由得

可得平面的一个法向量．

又为平面的一个法向量．

因此

所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为.

考点：1、直线与直线垂直的判定；2、平面与平面所成角的余弦值.

考点分析： 考点1：点、线、面之间的位置关系 试题属性

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