Question

18．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得函数单调递增区间．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{2}$可求$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$…（4分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$
所以函数f（x）单调递增区间为$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]（{k∈Z}）$…（7分）
（2）当$0≤x≤\frac{π}{2}$时$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，
所以当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{8}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}+1$，
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$即$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值0…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．