Question

已知函数f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna（x＞0），其中a是正常数．若f′（1）=g′（

1

2

），求a的值．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：需求函数f（x）与g（x）的导函数，再由f′（1）=g′（

1

2

）可求出答案．

解答： 解：由函数f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna（x＞0）
知函数f′（x）=1+

4

x2

-（4a+

1

a

）•

1

x

，g′（x）=-（4-

1

x2

）lna，
则f′（1）=5-（4a+

1

a

），g′（

1

2

）=0，
又由f′（1）=g′（

1

2

），则5-（4a+

1

a

）=0，
解得a=1或a=

1

4

，
故a的值为1或

1

4

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉导数的运算公式与函数解析式的求解方法以及常用函数解析式的结构特征．