Question

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴正方向滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），设y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S，则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象大致为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：数形结合

分析：沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，先画出y=f（x）最终构成图象，即得到其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S，再由图象选出直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象．

解答： 解：由题意得，从顶点A落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，
这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，
下面考查P点的运动轨迹，知正方形向右滚动，
P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动

1

4

个圆，该圆半径为1，
然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，再以C为圆心，旋转90°，这时候以CP为半径，因此y=f（x）最终构成图象如下：

由图得，两个相邻零点间的图象与x轴所围区域S为曲线与x轴围成的封闭图形，
则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数变化：
从O到B面积相同时间内越来越大，D随着t变化得越来越快，从B到D面积相同时间内越来越小，D随着t变化得越来越慢，故D与t的函数变化图象大致为D中的图象，
故选：D．

点评：本题考查的知识点是函数图象的变化，以及变量的变化趋势与图象的关系：越陡变化越快，越缓变化越慢，解题的关键是根据已知画出正方形转动过程中的图象，利用数形结合的思想进行求解．