Question

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\frac{b^2}{c^2}=\frac{tanB}{tanC}$，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．

Answer 1

分析 由已知条件和正弦定理以及三角函数公式可得sin2B=sin2C，可得2B=2C或2B+2C=π，化简可判三角形形状．

解答 解：∵在△ABC中，$\frac{b^2}{c^2}=\frac{tanB}{tanC}$，∴b²tanC=c²tanB，
∴由正弦定理可得sin²B•$\frac{sinC}{cosC}$=sin²C•$\frac{sinB}{cosB}$，
约掉sinBsinC变形可得sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，故2B=2C或2B+2C=π，
故B=C或B+C=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
故答案为：等腰三角形或直角三角形

点评 本题考查三角形形状的判定，涉及正弦定理和三角函数公式，属中档题．