Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=BA=BC=2，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求B到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB₁，证明AB⊥平面B₁OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB₁，因为AB∩BB₁=B，即可证明平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）利用${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{B-A{B}_{1}C}$，求B到平面AB₁D的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB₁．
因为B₁B=B₁A，所以OB₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，
所以AB⊥平面B₁OD，
因为OD?平面B₁OD，所以AB⊥OD，
由已知，BC⊥B₁B，
又OD∥BC，
所以OD⊥⊥B₁B，
因为AB∩B₁B=B，
所以OD⊥平面ABB₁A₁．
又OD?平面ABC，所以平面平面ABC⊥平面ABB₁A₁；…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，B₁O=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$=2，
B₁A=2，AC=B₁C=2$\sqrt{2}$，${S}_{△A{B}_{1}C}$=$\sqrt{7}$，
因为B₁O⊥平面ABC，所以${V}_{{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
设B到平面AB₁D的距离是d，则${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{B-A{B}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$d，
得B到平面AB₁D的距离d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．