Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为

3

5

（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；
（2）利用直线过点（3，0）且斜率为

4

5

，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C所截线段的长度．

解答： 解：（1）将（0，4）代入C的方程得

16

b2

=1，
∴b=4，
又e=

c

a

=

3

5

，
得

a2-b2

a2

=

9

25

即1-

16

a2

=

9

25

，
∴a=5
∴C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（ 2）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线方程为y=

4

5

(x-3)，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=

4

5

(x-3)代入C的方程，得

x2

25

+

(x-3)2

25

=1，
即x²-3x-8=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-8．
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

41

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．