Question

13．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转$\frac{π}{4}$到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=$\frac{1}{2}$，tanα=$tan（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$．

解答 解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=$\frac{1}{2}$，
则tanα=$tan（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=3，
∴cosα=$\frac{1}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．