Question

3．求满足下列条件的函数f（x）的解析式．
（1）函数f（x）满足f（$\sqrt{x}$+1）=x+2$\sqrt{x}$．
（2）函数f（x）满足2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=x（x≠0）．
（3）若将（1）中条件“f（$\sqrt{x}$+1）=x+2$\sqrt{x}$”变为“f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$”，则f（x）的解析式是什么？

Answer 1

分析 （1）由题意整体配凑可得f（$\sqrt{x}$+1）=（$\sqrt{x}$+1）²-1，可得f（x）=x²-1，x≥1；
（2）由已知式子可得2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$，联立消去f（$\frac{1}{x}$）解方程组可得；
（3）由题意整体配凑可得f（1+$\frac{1}{x}$）=（1+$\frac{1}{x}$）²-（1+$\frac{1}{x}$）+1，可得f（x）=x²-x+1，x≠1

解答 解：（1）由题意可得f（$\sqrt{x}$+1）=x+2$\sqrt{x}$=x+2$\sqrt{x}$+1-1=（$\sqrt{x}$+1）²-1，
故f（x）=x²-1，x≥1；
（2）∵函数f（x）满足2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=x，
∴2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$，联立消去f（$\frac{1}{x}$）
可解得f（x）=$\frac{2}{3x}$-$\frac{x}{3}$，x≠0；
（3）∵f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1=$\frac{1}{{x}^{2}}$+2•$\frac{1}{x}$+1-$\frac{1}{x}$=（1+$\frac{1}{x}$）²-（1+$\frac{1}{x}$）+1，
∴f（x）=x²-x+1，x≠1

点评 本题考查函数解析式的求解，整体配凑是解决问题的关键，属中档题．