Question

已知函数f（x）=ax³-b的图象与直线y=3x+2相切于点A（1，f（1））
（1）求a、b的值；
（2）若函数f（x）在点B（-1，f（-1））的切线方程为l，直线m平行l，且m与曲线g（x）=x³相切．求直线l和m的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）利用切点在直线y=3x+2、函数f（x）=ax³-b上，即可求a、b的值；
（2）求导数可得切线斜率，求出切点坐标，即可求出切线方程．

解答： 解：（1）由题意，∵函数f（x）=ax³-b的图象与直线y=3x+2相切于点A（1，f（1）），
∴f（1）=a-b=5，f′（1）=3a=3，
∴a=1，b=-4；
（2）f（x）=x³+4，f′（x）=3x²，
∴f′（-1）=3，f（-1）=3，
∴函数f（x）在点B（-1，f（-1））的切线方程l：y-3=3（x+1），即3x-y+6=0；
∵g（x）=x³，∴g′（x）=3x²，
∵直线m平行l，且m与曲线g（x）=x³相切，
∴3x²=3，∴x=1，
∴切点为（1，1），
∴m的方程为y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．