Question

7．如图所示，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于2km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看塔在正东方向，在点C处看见塔在南偏东60°方向，则塔M到直路ABC的最短距离为$\frac{14+10\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 根据已知条件求得∠CMA，进而可推断出△MBC与△MBA面积相等，利用三角形面积公式可求得CM和AM的关系，进而在△MAC中利用余弦定理求得a，最后根据三角形面积公式求得答案．

解答 解：已知AB=BC=2，∠AMB=45°，∠CMB=30°，∴∠CMA=75°
易见△MBC与△MBA面积相等，
∴AMsin45°=CMsin30°
即CM=$\sqrt{2}$AM，记AM=a，则CM=$\sqrt{2}$a，
在△MAC中，AC=4，由余弦定理得：16=3a²-2$\sqrt{2}$a²cos75°，
∴a²=$\frac{16}{4-\sqrt{3}}$，记M到AC的距离为h，则$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$a²sin75°=2h
得h=$\frac{14+10\sqrt{3}}{13}$，
∴塔到直路ABC的最短距离为：$\frac{{14+10\sqrt{3}}}{13}$．
故答案为：$\frac{{14+10\sqrt{3}}}{13}$．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合运用．