Question

18．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（a∈R⁺）在区间[2，4]上为单调递增函数，则$\frac{25}{a}$+a的取值范围为（　　）

• A． [10，+∞）
• B． [$\frac{29}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{25}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{41}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 首先对f（x）求导：f'（x）=x²-ax+1；函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（a∈R⁺）在区间[2，4]上为单调递增函数，即导函数f'（x）在[2，4]上恒有f'（x）≥0；求出a的范围，然后利用函数的单调性求解$\frac{25}{a}$+a的取值范围．

解答 解：对f（x）求导：f'（x）=x²-ax+1；
函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（a∈R⁺）在区间[2，4]上为单调递增函数，
即导函数f'（x）在[2，4]上恒有f'（x）≥0；
f'（x）为一元二次函数，其对称轴为：x=$\frac{a}{2}$，开口朝上，
①当a≤4时，f'（2）≥0，即4-2a+1≥0，解得0＜a≤$\frac{5}{2}$．
②当4＜a＜8时，f'（$\frac{a}{2}$）≥0，即$\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+1≥0$，解得-2≤a≤2，无解不成立．
③当a≥8时，f'（4）≥0，即：16-4a+1≥0，解得a≤$\frac{17}{4}$，无解．
综上：0＜a$≤\frac{5}{2}$．
则$\frac{25}{a}$+a≥2$\sqrt{\frac{25}{a}•a}$=10，当且仅当a=5时，则$\frac{25}{a}$+a取得最小值，
因为0＜a$≤\frac{5}{2}$．y=$\frac{25}{a}$+a是单调减函数，所以a=$\frac{5}{2}$时，$\frac{25}{a}$+a取得最小值：$\frac{25}{2}$．
$\frac{25}{a}$+a的取值范围为：[$\frac{25}{2}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题主要考查了对函数的求导运算，以及导函数与函数单调性的关系，二次函数的简单性质的应用，属中等题．