Question

10．如图，在等腰梯形CDFE中，A，B分别为底边DF，CE的中点，AD=2AB=2BC=2．沿AE将△AEF折起，使二面角F-AE-C为直二面角，连接CF、DF．
（Ⅰ）证明：平面ACF⊥平面AEF；
（Ⅱ）求点D到平面ACF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明EF⊥EA；EF⊥AC；推出平面AEF⊥平面AECD，得到AC⊥EF，AC⊥AE，证明AC⊥平面AEF，然后证明平面ACF⊥平面AEF．
（Ⅱ）点D到平面ACF的距离即三棱锥D-ACF的高，利用V_D-ACV=V_V-ACD求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在等腰梯形CSFE中，由已知条件可得，
CD=AC=AE=EF=$\sqrt{2}$，AF=AD=2，
所以，AE²+EF²=AF²，∴EF⊥EA；同理可证，EF⊥AC；…（2分）
在四棱锥F-AECD中，
∵二面角F-AE-C为直二面角，
∴平面AEF⊥平面AECD，
∴EF⊥平面AECD，…（4分）
∵AC?平面AECD，
∴AC⊥EF，又∵AC⊥AE，
∴AC⊥平面AEF，
∴平面ACF⊥平面AEF．…（6分）
（Ⅱ）点D到平面ACF的距离即三棱锥D-ACF的高，
所以V_D-ACV=V_V-ACD             …．（8分）
因为AB=BC=1，所以AC=$\sqrt{2}$，AF=2且AC⊥AF，
所以S_△ACV=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．
又因为AC=CD=$\sqrt{2}$且AC⊥CD，
所以S_△ACD=$\frac{1}{2}±\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，$EF=\sqrt{2}$…．（10分）
所以$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×d=\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}$ 即
d=1…．（12分）

点评 本题看直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，曹休墓距离的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．