Question

7．已知a∈R，函数f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=5时，解导数不等式即可．
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．
（3）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）当a=5时，f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+5），
由f（x）＞0；得log₂（$\frac{1}{x}$+5）＞0，
即$\frac{1}{x}$+5＞1，则$\frac{1}{x}$＞-4，则$\frac{1}{x}$+4=$\frac{4x+1}{x}$＞0，即x＞0或x＜-$\frac{1}{4}$，
即不等式的解集为{x|x＞0或x＜-$\frac{1}{4}$}．
（2）由f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0得log₂（$\frac{1}{x}$+a）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0．
即log₂（$\frac{1}{x}$+a）=log₂[（a-4）x+2a-5]，
即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5＞0，①
则（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=$\frac{1}{a-4}$，
若x=-1是方程①的解，则$\frac{1}{x}$+a=a-1＞0，即a＞1，
若x=$\frac{1}{a-4}$是方程①的解，则$\frac{1}{x}$+a=2a-4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）-f（t+1）≤1，
即log₂（$\frac{1}{t}$+a）-log₂（$\frac{1}{t+1}$+a）≤1，
即$\frac{1}{t}$+a≤2（$\frac{1}{t+1}$+a），即a≥$\frac{1}{t}$-$\frac{2}{t+1}$=$\frac{1-t}{t（t+1）}$
设1-t=r，则0≤r≤$\frac{1}{2}$，
$\frac{1-t}{t（t+1）}$=$\frac{r}{（1-r）（2-r）}$=$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$，
当r=0时，$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=0，
当0＜r≤$\frac{1}{2}$时，$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=$\frac{1}{r+\frac{2}{r}-3}$，
∵y=r+$\frac{2}{r}$在（0，$\sqrt{2}$）上递减，
∴r+$\frac{2}{r}$≥$\frac{1}{2}+4$=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=$\frac{1}{r+\frac{2}{r}-3}$$≤\frac{1}{\frac{9}{2}-3}$=$\frac{2}{3}$，
∴实数a的取值范围是a≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．