Question

11．设函数f（x）=x|x-a|，若对任意x₁，x₂∈[3，+∞）且x₁≠x₂有不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，则实数a取值范围为（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． [-3，0）
• C． （-∞，3]
• D． （0，3]

Answer 1

分析 由条件可得 函数f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函数，再由函数f（x）=x|x-a|的增区间是（-∞，a）、（a，+∞），可得a≤3．

解答 解：∵对任意x₁，x₂∈[3，+∞）且x₁≠x₂有不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立
∴函数f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函数．
再由函数f（x）=x|x-a|的增区间是（-∞，a）、（a，+∞），可得a≤3，
故实数a的取值范围是（-∞，3]，
故选：C

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的应用，属于中档题．