Question

若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，其图象是四分之一圆（如图所示），则函数H（x）=|xe^x|-f（x）在区间[-3，1]上的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数f（x）=xe^x的导函数，由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值．然后判断y=|xe^x|的极值与单调性，然后推出零点的个数．

解答： 解：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），
∴函数是偶函数，且图象关于x=1对称，
∵函数f（x）=xe^x的定义域为R，
f′（x）=（xe^x）′=x′e^x+x（e^x）′=e^x+xe^x
令f′（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

由表可知函数f（x）=xe^x的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．
当x=-1时，函数f（x）=xe^x的极小值为f（-1）=-

1

e

，
y=|xe^x|，在x=-1时取得极大值：

1

e

，x∈（0，+∞）是增函数，
∴x＜0时，两个函数图象有3个交点，x＞0时，两个函数图象有1个交点．
两个函数图象共有4个交点．
即函数H（x）=|xe^x|-f（x）在区间[-3，1]上有4个零点．
故答案为：4

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，在求出导函数等于0的x值后，借助于表格分析能使解题思路更加清晰，此题是中档题．