Question

【题目】已知点A，B的坐标分别是（，0），（，0），动点M（x，y）满足直线AM和BM的斜率之积为﹣3，记M的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）直线y＝kx+m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），（y≠0）；（2）（﹣∞，]∪[，+∞）．

【解析】

（1）根据题意得kAMkBM3，（y≠0），化简可得曲线E的方程．

（2））设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与曲线E的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得x1+x2，y1+y2，△＞0①，根据题意得PQ的中点也是OR的中点，得R点的坐标，再代入曲线E的方程，得2m2＝k2+3②，将②代入①得m的取值范围．

解：（1）kAMkBM3，（y≠0）

化简得曲线E的方程：．（y≠0）

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）

联立，得（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6＝0，

x1+x2，y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

△＝（2km）2﹣4×（3+k2）（m2﹣6）＝﹣12m2+24k2+72＞0，即﹣m2+2k2+6＞0，①

若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点，

所以R点的坐标为（，），

又点R在曲线E上得，化简得2m2＝k2+3②

将②代入①得，m2＞0，所以m≠0，由②得2m2≥3，所以m或m

所以m的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．