Question

某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V平方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer 1

(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr²元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr²)元，又据题意200πrh＋160πr²＝12 000π，所以h＝(300－4r²)，从而

V(r)＝πr²h＝(300r－4r²)．

因r>0，又由h>0可得r<5，

故函数V(r)的定义域为(0,5)．

(2)因V(r)＝(300r－4r³)，故V′(r)＝(300－12r²)，令V′(r)＝0，解得r₁＝5.r₂＝－5(因r₂＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．