Question

12．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点．求证：EB₁∥DF，ED∥B₁F．（提示：设G是DD₁的中点，分别连接EG，GC₁）

Answer 1

分析 设G是DD₁的中点，分别连接EG，GC₁，推导出DFC₁G是平行四边形，EB₁C₁G是平行四边形，从而DFB₁E是平行四边形，由此能证明EB₁∥DF，ED∥B₁F．

解答 证明：设G是DD₁的中点，分别连接EG，GC₁
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，
∴DG$\underset{∥}{=}$FC₁，∴DFC₁G是平行四边形，
∴GC₁$\underset{∥}{=}$DF，
又EG$\underset{∥}{=}$B₁C₁，∴EB₁C₁G是平行四边形，
∴GC₁$\underset{∥}{=}$EB₁，
∴EB₁$\underset{∥}{=}$DF，∴DFB₁E是平行四边形，
∴EB₁∥DF，ED∥B₁F．

点评 本题考查直线与直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意平行公理的合理运用．