Question

【题目】由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形是边长为的正方形，为与的交点，为的中点，平面．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求线段的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证明出平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面的一个法向量，利用直线与平面所成的角为，计算出的值，进而得解.

（Ⅰ）取的中点，连接、，

由于为四棱柱，所以，且，

四边形为平行四边形，则且，

、分别为、的中点，所以，且，

因此四边形为平行四边形，所以．

又平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，设，

易知、、、，从而可得．

设平面的法向量为，

又，，故有，解得，

可取．

由题意得，

解得，即线段的长为．