Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F分别在PC，BD上，

CE

CP

=

BF

BD

=

1

3

，侧面PAD⊥底面AB-CD，且PA=PD=

2

，AD=2．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结CF，并延长，使其与DA的延长线交于点Q，连结PQ，由已知得EF∥PQ，由此能证明EF∥平面PAD．
（2）由已知得CD⊥平面PAD，从而CD⊥PA，进而△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．

解答： 证明：（1）如图，连结CF，并延长，使其与DA的延长线交于点Q，连结PQ，
∵在正方形ABCD中，BC∥DA，∴BC∥DQ，
∴

BE

BD

=

CF

CQ

=

1

3

，又

CE

CP

=

1

3

，∴

CE

CP

=

CF

CQ

，
在△CPQ中，EF∥PQ，
又∵PQ?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，
又∵在正方形ABCD中有CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，∵PA=PD=

2

，AD=2，
∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，
又∵CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用．