Question

3．（1）${（{2x+\sqrt{x}}）^5}$的展开式中，求x³的系数；
（2）已知${（{\sqrt{x}-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^5}$的展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数为30，求a的值；
（3）$（{x+\frac{a}{x}}）•{（{2x-\frac{1}{x}}）^5}$的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x³的系数．
（2）根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为$\frac{3}{2}$求得r，再代入系数求出结果．
（3）根据$（{x+\frac{a}{x}}）•{（{2x-\frac{1}{x}}）^5}$的展开式中各项系数的和为2求得a=1，再根据它的展开式的通项公式求得它的常数项．

解答 解：（1）${（{2x+\sqrt{x}}）^5}$的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${x}^{5-\frac{1}{2}r}$•2^5-r，
令5-$\frac{1}{2}r$=3，r=4，可得展开式中x³的系数为10；
（2）根据所给的二项式写出展开式的通项，T_r+1=$（-a）^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{\frac{5}{2}-r}$
展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数为30，
∴$\frac{5}{2}$-r=$\frac{3}{2}$，
∴r=1，并且-5a=30，解得a=-6；
（3）∵$（{x+\frac{a}{x}}）•{（{2x-\frac{1}{x}}）^5}$的展开式中各项系数的和为（a+1）（2-1）=2，
∴a=1，
（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的通项为T_r+1=${C}_{5}^{r}•（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{x}^{5-2r}$，
故常数项为${-C}_{5}^{3}•4$+${C}_{5}^{2}•8$=40．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．