Question

如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

Answer 1

证明：

(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO，

又O为BD的中点，

所以BE＝DE.

(2)法一：如图，取AB的中点N，

连接DM，DN，MN.

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，

所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°.

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，

所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC.

又DM⊂平面DMN，

所以DM∥平面BEC.

法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.

因为CB＝CD，∠BCD＝120°，

所以∠CBD＝30°.

因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因此∠AFB＝30°，

所以AB＝AF.

又AB＝AD，

所以D为线段AF的中点．

连接DM，由于点M是线段AE的中点，

因此DM∥EF.

又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC.