【题目】某工厂有工人1000名，其中250名工人参加短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）．现用分层抽样方法（按类，类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．

（1）类工人和类工人中个抽查多少工人？

（2）从类工人中的抽查结果和从类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．

表1：

表2：

① 先确定，，再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，类工人中个体间的差异程度与类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

② 分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中

的数据用该组区间的中点值作代表）．

算法设计：

（1）设母鸡、公鸡、小鸡数分别为、、，则应满足如下条件：

；．

（2）先分析一下三个变量的可能值．①的最小值可能为零，若全部钱用来买母鸡，最多只能买33只，

故的值为中的整数．②的最小值为零，最大值为50．③的最小值为零，最大值为100．

（3）对、、三个未知数来说，取值范围最少．为提高程序的效率，先考虑对的值进行一一列举．

（4）在固定一个的值的前提下，再对值进行一一列举．

（5）对于每个，，怎样去寻找满足百年买百鸡条件的．由于，值已设定，便可由下式得到：．

（6）这时的，，是一组可能解，它只满足“百鸡”条件，还未满足“百钱”．是否真实解，还要看它们是否满足，满足即为所求解．

根据上述算法思想，画出流程图并用伪代码表示．

【题目】某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果最佳．

（1）试求的函数关系式；

（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．

已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中, 直线经过点,倾斜角．

（1）写出曲线直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设与曲线相交于两点, 求的值．

【题目】已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对任意，若恒成立，求实数的取值范围．

【题目】如图, 四棱锥中, 平面平面,为线段上一点,为的中点．

（1）证明: 平面；

（2）求二面角的正弦值．

【题目】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

该公司从注册的会员中, 随机抽取了位进行统计, 得到统计数据如下:

假设汽车美容一次, 公司成本为元, 根据所给数据, 解答下列问题:

（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；

（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为元, 求的分布列和数学期望．

【题目】已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．

（1）求的值；

（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．

【题目】某厂家计划在2012年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量万件与年促销费用万元满足：，其中为常数，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只有1万件，已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1．5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．

（1）将2012年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求三棱锥B-EFC的体积；

（3）求二面角P-EC-D的正切值．