【题目】某“芝麻开门”娱乐活动中，共有扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的把钥匙（其中有且只有把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至扇门都进行了试开，活动结束．

（1）设随机变量为试开第一扇门所用的钥匙数，求的分布列及数学期望；

（2）求恰好成功打开扇门的概率．

【题目】已知函数，，其中e是自然对数的底数．

（1）若函数的极大值为，求实数a的值；

（2）当a＝e时，若曲线与在处的切线互相垂直，求的值；

（3）设函数，若＞0对任意的x(0，1)恒成立，求实数a的取值范围．

【题目】已知是各项均为正数的无穷数列，数列满足(n)，其中常数k为正整数．

（1）设数列前n项的积，当k＝2时，求数列的通项公式；

（2）若是首项为1，公差d为整数的等差数列，且＝4，求数列的前2020项的和；

（3）若是等比数列，且对任意的n，，其中k≥2，试问：是等比数列吗？请证明你的结论．

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线MN的斜率为时，求的值；

（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t，0)，求实数t的取值范围．

【题目】某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2， 设∠BOC＝2．

（1）当时，求S2﹣S1的值；

（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos的值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x，(cos2x)'＝﹣2sin2x）

（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；

（2）B1E∥平面ACD．

【题目】已知函数，.

（1）证明：不等式在恒成立；

（2）证明：在存在两个极值点，

附：，，.

【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度（分值：分）进行网上调查，有2000位市民参加了投票，经统计，得到如下频率分布直方图（部分图）：

现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会，其中满意程度在的有5人．

（1）求的值，并填写下表（2000位参与投票分数和人数分布统计）；

（2）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；

（3）若满意程度在的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两位发言，求男性甲或女性乙被选中的概率．

【题目】已知抛物线的焦点到直线的距离为，过点的直线与交于、两点.

（1）求抛物线的准线方程；

（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，且与的交点在抛物线上，求直线的斜率和点的坐标.

【题目】已知抛物线的焦点到直线的距离为，过点的直线与交于、两点.

（1）求抛物线的准线方程；

（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，且与的交点在抛物线上，求直线的斜率和点的坐标.