2009届高三数学第二轮专题复习系列(5)――平面向量
一、大纲解读
平面向量解读
⑴理解向量的概念、掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
⑵掌握向量的加法和减法
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑶掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
⑷了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
（5）掌握平面向量数理积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.
二、高考预测
平面向量作为高考新增知识点，在近几年高考试题中的分值正逐年增加，约占9.8%左右.对本章内容的考查主要分为以下两类：
（1）以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念，几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算以及平面向量的数量积及其几何意义等.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
（2）平面向量综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数、解析几何等知识综合，解决角度、垂直、平行以及图象的平移等问题.
三、重点剖析
重点1.
例2：(数量积运算求夹角)已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x
=
分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x?y的值.计算时要注意计算的准确性.
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a?b=|a||b|cosα=
.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x?y的值.
∵|x|2=x2=(+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b?a+a2=9－6×+1=7.
x?y=(
=－2－3=－
，
又∵x?y=|x||y|cosθ，即－=
×
cosθ，
∴cosθ=－
，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos
点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设
=b,
=a, 
=
=
－=|=，即|x|=，同理可得|y|=.
重点2.平面向量的数量积及运算律
例5、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a?b）c－（c?a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b?c）a－（c?a）b不与c垂直④（
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（b?c）a－（c?a）b］?c=（b?c）a?c－（c?a）b?c=0，所以垂直.故③假；
④（
点拨：作为选择题要注意解题方法的选择，先分析对错最为明显的论断以排除选项.注意区分向量运算与数量运算.
重点3. 利用向量推导出了正弦定理、余弦定理，其实用向量推导其它三角公式也很方便，同时说明向量与三角是有密切联系的。
]例2 设函数
，其中向量
.
（1）求函数
的最大值和最小正周期；
（2）将函数
的图像按向量
平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
解：(1)由题意得，f(x)＝
=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+
sin(2x+
).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是
＝
.
（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝
,k∈Z，于是d＝（，－2），
k∈Z.,因为k为整数，要使
最小，则只有k＝1，此时d＝（?
，?2）即为所求.
点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
重点4.平面向量综合问题
例6、例、若直线
按向量
平移后与圆
相切，则c的值为
A．8或－2 B．6或－
解析：按向量平移后得
，此直线与圆相切
点拨：本题考查向量的平移公式和直线与圆的位置关系，是向量和直线与圆的小综合，求解时关键在于运用点与函数图象按向量
平移的公式.
例4、已知x2+y2+z2=6，a2+b2+c2=4 (x,y,z,a,b,c∈R)，求ax+by+cz的最值。
解：构造向量，
，则
∴ax+by+cz的最大值为
，最小值为
.+
点评: 巧妙构造向量，利用向量的数量积性质:
是求解本题的关键.特别是对于某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，向量的数量积性质求解显得更加独特巧妙。
四、扫雷先锋
雷区1.概念理解模糊
例1 在
中，若
，则是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
错解1：因为，所以
，所以
，因此角
为锐角。故选
。
错解2：因为，所以，所以，因此角为锐角，但其他两个角并不能确定，故选
。
错因分析：产生上述错误的主要原因是对向量的夹角的概念理解模糊，向量
与
的夹角不是角，而是角的外角。
正确解法：由，可得
，所以
，即为锐角，所以为钝角。故选
。
雷区2.生搬硬套公式致错
例2 已知
，
，将向量按向量
平移后所得的向量
的坐标为
（
）
A. 
B. 
C.
D.
错解：
,由平移公式得
，∴向量按向量平移后所得的向量的坐标为，故选。
错因分析：平移公式揭示的是点沿着向量平移后前后坐标间的变化关系，而向量可以自由平行移动，即向量平移时向量的坐标不变。上述错误是将平移公式生搬硬套。
正解1：因向量平移后仍与原来的向量相等，则
，故选。
正解2：，按向量平移后所得
，
，所以
，故选。
雷区3.忽视向量的特性错误
例3、已知向量、
都是非零向量，且向量
与向量
垂直，向量
与向量
垂直，求向量与的夹角。
错解：由题意得
，即
，两式相减得
，即
，所以
（不合题意舍去）或
。由知、方向相同。故向量与的夹角为
。
错因分析：本解法误用了实数的性质：对于实数
、
，若满足
，则必有
或
。但对于向量与，若满足
时，与不一定为零向量，这是因为任意与垂直的非零向量都有。
正解：由题意可知向量与不共线，所以，即，两式相减得，即
，代入
得
，所以
，设向量与的夹角为
，所以
。
雷区4.运算律掌握不牢固致错
例4 若向量与不共线，
，且
，则向量与
的夹角（
）
（）
（
）
（
）
错解：由可得，
，所以向量与的夹角为。选（）。
错因分析：此解法出错的原因是对
进行了约分处理。
正解：由题意得
，所以向量与的夹角为。故选（）。
雷区5.思想应用错误
例5 已知向量
，
，对任意
恒有
，则 （ ）
（）
（）
（）
（）
错解：由已知条件两边平方得： 
，即
恒成立故需
得：
，而答案中无此项。
错因分析：错误的主要原因是整理成关于
的二次不等式后，不能把
看成一个整体，一个参数，或不会把“1”看成
，而总以为自己因做错得不到答案。
正解：接上，
，又因为
，所以。
雷区6.考虑不周错误
例6 已知点
，
，
，
，
，
，若
，
，试求
为何值时，点
在第三象限。
错解：因为，，，，，，
，
，
，
，所以
，
，于是
，解得
。
错因分析：本题误把向量
的坐标当做了点的坐标。利用向量的坐标判断点在那个象限时，应把向量的起点移动到坐标原点。
正解：设点
，
，由题意得，，
，
。所以
，解得
，于是
。
五、沙场练兵
一、选择题
1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1 B.x=
D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
A.（-5k,4k） B.(-
,-
) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点P分所成的比为
，则A分
所成的比是（ ）
A.
B.
C.-
D.-
4.已知向量a、b，a?a=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（ ）
A.60° B.-60° C.120° D.-120°
5.若|a-b|=
,|a|=4,|b|=5，则向量a?b=（ ）
A.10 B.-10 C.10 D.10
6.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x?b与b垂直，则x的值为（ ）
A.
B.
C.2 D.-
7.设四边形ABCD中，有
=，且||=|
|，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（ ）
A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（ ）
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
二、填空题
2．已知向量
，
．若向量
，则实数
的值是 -3
．
5．已知向量a = (
), b = (
,-1)，则
的最大值是 4 ．
7．已知△ABC内一点P满足
，则P为△ABC的 重 心．
一、选择题
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A6.D 7.C10.B11.C
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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