１．复数等于

Ａ．　　　　　　Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．

２．设全集Ｉ是实数集R. 都是Ｉ的子集（如图所示， 则阴影部分所表示的集合为

Ａ．   　 Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

３．函数的最小正周期是

     Ａ．            Ｂ．                Ｃ．               Ｄ．

４．设等差数列的公差为2，前项和为，则下列结论正确的是

Ａ．                       　 Ｂ．

Ｃ．                              Ｄ．

５．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积为

    Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．

６．已知，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是

Ａ．                                       Ｂ．   

Ｃ．                        Ｄ．

７．在空间给出下列四个命题：

①如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥；

②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；

③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；

④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥．其中正确的个数是

Ａ．　　　　　    Ｂ．　　　　　  Ｃ．　　　　     Ｄ．

８．已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为 在上的投影，则z的取值范围是

Ａ．     Ｂ．       Ｃ．      Ｄ．

９．把半径都为的四个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为

　　Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

10．设点是函数图象上的任意一点．点的坐标为，为坐标原点，则使得为直角三角形的点的个数是

　　Ａ．　　　　　　 Ｂ．             Ｃ．             Ｄ．

第II卷

11．二项式展开式中的系数为．

12．若，则．

13．在五个数字组成没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有．

14．已知⊙及直线．点是直线上的任意一点．

过作⊙的两条切线，为切点．（i）当时，则直线的方程为；（ii）的最大值为．

15．已知函数．（i）函数的对称中心为；（ii）若函数的图象有对称中心，则．

16．（本小题满分12分）

　一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为.

（１）求时 的概率；（２）求的概率分布列及数学期望.

解：（１）表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率

②三取取球中有2次出现最大数字3的概率

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率

∴．   ……………………………………………………6分

（２）在时, 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

１

２

３

４

 的概率分布为：

=1×＋2×＋3×＋4× = ．………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

如图, 在正方体―中,

为的中点．

   （１）证明：平面平面；

（２）求与平面所成角的大小的正弦值．

解：（１）取的中点的中点连结

平面, .

又,

平面．……………………………3分

,四边形是平行四边形, 平面

又平面, 平面平面　………………………………6分

 　（２）过作于，连结．

由（１）中的平面平面知面，所以在面上的射影为，所以就是所求的角．  …………………………………………9分

令正方体的棱长为，所以，所以．

即与平面所成角的大小的正弦值为．   …………………………12分

18．（本小题满分12分）

已知函数，过该函数图象上任意一点

（１）证明：图象上的点总在图象的上方；

（２）若上恒成立，求实数的取值范围．

解：（１），

设

为增，

当

，

所以图象上的点总在图象的上方．    …………………………6分

（２）当．

x

（－∞，0）

（0，1）

1

（1，+∞）

F^‘（x）

－

－

0

+

F（x）

减

减

e

增

①当x＞0时，F（x）在x=1时有最小值e，．

②当x＜0时，F（x）为减函数，

，

．

③当x=0时，∈R．

由①②③，恒成立的的范围是． ……………………………………12分

19．（本小题满分13分）

如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛

周围范围内有暗礁，现该船继续东行．

   （１）若，问该船有无触礁危险？

如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？

   （２）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？

解：（１）作，垂足为，由已知，，

所以，

所以，，

所以，所以该船有触礁的危险．

设该船自向东航行至点有触礁危险，则，

在△中，，，，，

所以，（）．所以，该船自向东航行会有触礁危险．  ……6分

（２）设，在△中，由正弦定理得，，

即，，

而，所以，当，

即，即时，该船没有触礁危险．   …………13分

20．（本小题满分13分）

    在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：

①；②；③∥．

（１）求的顶点的轨迹方程；

（２）过点的直线与（１）中轨迹交于不同的两点，求面积的最大值．

解：（１）设 ，

点在线段的中垂线上．由已知． …………1分

又∥，．又，

，

．   ………………………………………………3分

， ，

  ，顶点的轨迹方程为 ． …5分

（２）设直线方程为：，，，

由   消去得：   ①

 ， ． ………………………………………7分

由方程①知＞，

＜，，＜＜．  ……………………………………………9分

而

．………………………………………11分

令，则，．记，

求导易得当时有面积的最大值．          ……………………13分

21．（本小题满分13分）

已知数列满足：，且．求证：

（１）数列为等比数列；（２）．

解：（１）由得

．

而，所以，

所以数列为等比数列．    …………………………………………4分

　 （２）由（１）有． ……………………………………6分

所以，，……，

，累和得

． …8分

因为，………………………………………………9分

所以．

记，用错位相减法得

，所以．

所以．

即当为奇数时命题成立．……………………………………………………………11分

又，

所以．即当为偶数时命题成立．

综合以上得．………………………………………………13分