2．几个重要的物理量间的关系

要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

(1)由定义知：F∝x，方向相反。

(2)由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。

(3)由以上两条可知：a∝x，方向相反。

(4)v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向(即 v、 F同向，也就是v、x反向)时v一定增大；当v、a反向(即 v、 F反向，也就是v、x同向)时，v一定减小。

1．定义

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F= -kx

(1)简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

(2)回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

(3)“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。(如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态)

(4)F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

例1 如图15-2-2所示为卢瑟福和他的同事们做a 粒子散射实验装置的示意图，荧光屏和显微镜一起分别放在图中的A、B、C、D四个位置时，观察到的现象，下述说法中正确的是

A．放在A位置时，相同时间内观察到屏上的闪光次数最多

B．放在B 位置时，相同时间内观察到屏上的闪光次数只比A位置时稍少些

C．放在C、D 位置时，屏上观察不到闪光

D．放在D 位置时，屏上仍能观察一些闪光，但次数极少

[解析]　 根据α粒子散射现象，绝大多数粒子沿原方向前进，少数粒子发生较大偏转，本题应选择A、B、D

[点评]　 本题考查学生是否掌握卢瑟福的α粒子散射实验结果。

例2 氢原子的核外电子从距核较近的轨道跃迁到距核较远的轨道过程中　　 (　 )

　　 A．原子要吸收光子，电子的动能增大，原子的电势能增大，原子的能量增大

　　 B．原子要放出光子，电子的动能减小，原子的电势能减小，原子的能量也减小

　　 C．原子要吸收光子，电子的动能增大，原子的电势能减小，原子的能量增大

　　 D．原子要吸收光子，电子的动能减小，原子的电势能增大，原子的能量增加

[解析]　 根据玻尔理论，氢原子核外电子在离核越远的轨道上运动时，其能量越大，　 由能量公式En=(E₁=-13．6 eV)可知，电子从低轨道(量子数n 小)向高轨道(n值较大)跃迁时，要吸收一定的能量的光子．故选项B可排除．氢原子核外电子绕核做圆周运动，其向心力由原子核对电子的库仑引力提供，即 =，电子运动的动能E_k=mv²=．由此可知：电子离核越远，r越大时，则电子的动能就越小，故选项A、C均可排除．

　　 由于原子核带正电荷，电子带负电荷，事实上异性电荷远离过程中需克服库仑引力做功，即库仑力对电子做负功，则原子系统的电势能将增大，系统的总能量增加，故选项D正确．

[点评] 　考查对玻尔理论、库仑定律、圆周运动规律及电场力做功性质的综合运用的能力．

例3　 关于天然放射现象，以下叙述正确的是　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．若使放射性物质的温度升高，其半衰期将减小

B．β衰变所释放的电子是原子核内的中子转变为质子时所产生的

C．在α、β、γ这三种射线中，γ射线的穿透能力最强，α射线的电离能力最强

D．铀核()衰变为铅核()的过程中，要经过8次α衰变和10次β衰变

[解析]半衰期是由放射性元素原子核的内部因素所决定，跟元素的化学状态、温度、压强等因素无关．A错；β衰变所释放的电子是原子核内的中子转变为质子时所产生的，，B对；根据三种射线的物理性质，C对；U的质子数为92，中子数为146，Pb的质子数为82，中子数为124，因而铅核比铀核少10个质子，22个中子。注意到一次α衰变质量数减少4，故α衰变的次数为x= =8次。再结合核电荷数的变化情况和衰变规律来判定β衰变的次数y应满足　 2x-y+82＝92， y＝2x-10=6次。故本题正确答案为B、C。

[点评]

1 本题考查α衰变、β衰变的规律及质量数，质子数、中子数之间的关系。

　　　 2 β衰变放出的电子并不是由核外电子跃迁出来的，而是从核中衰变产生的。

例4、如图15-2-3K^-介子衰变的方程为，其中K^-介子和π^-介子带负的基元电荷，π⁰介子不带电。一个K^-介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为圆弧AP，衰变后产生的π^-介子的轨迹为圆弧PB，两轨迹在P点相切，它们的半径R_K-与R_π之比为2∶1。π⁰介子的轨迹未画出。由此可知π^-介子的动量大小与π⁰介子的动量大小之比为　 A.1∶1　　　　 B.1∶2　　　　 C.1∶3　　　　 D.1∶6

[解析] 　根据题意，分别计算出带电粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径。根据动量的定义，分别求出两个介子的动量大小，再从图中确定两个介子动量的方向，最后运用动量守恒，计算出粒子的动量大小。qv_KB=m_K，R_K=R，，p_K=-p+p，

p。正确选项为(C)

[点评]　 这题以基本粒子的衰变为情景，涉及带电粒子在磁场中运动规律和动量守恒等知识点，是一道综合性题目。带电粒子在磁场中受到洛伦磁力作用，该力的方向与粒子的速度方向垂直，因此，带电粒子作圆周运动。根据动量守恒，基本粒子衰变前后的总动量不变，但计算过程要主注意动量的方向问题。

例5 若原子的某内层电子被电离形成空位，其它的电子跃迁到该空位上时，会将多余的能量以电磁辐射的形式释放出来，此电磁辐射就是原子的特征X射线。内层空位的产生有多种机制，其中的一种称为内转换，即原子中处于激发态的核跃迁回基态时，将跃迁时释放的能量交给某一内层电子，使此内层电子电离而形成空位(被电离的电子称为内转换电子)。的原子核从某一激发态回到基态时，可将能量E₀=1.416MeV交给内层电子(如K、L、M层电子，K、L、M标记原子中最靠近核的三个电子层)使其电离。实验测得从原子的K、L、M层电离出的动能分别为E_K=1.323MeV、E_L=1.399MeV、E_M=1.412MeV.则可能发射的特征X射的能量为

A　 0.013MeV　　 B　 0.017MeV　　　 C 0.076MeV　　　　 D 0.093MeV

[解析]电子电离后的动能等于吸收的能量减去电子原来所处的能级的能量，所以原子核的K层的能量为0．093MeV，原子核的L层的能量为0．017MeV，原子核的M层的能量为0．004MeV。所以可能发射的特征X射的能量为0．076MeV、0．087MeV、0．013MeV。故正确为A、C

[点评]这是一道信息题要求学生能把题中所给的知识与已学知识有机结合。学生首先要弄清电子的电离能、动能与吸收能量的关系。

4、原子核的衰变

(1)天然放射现象：有些元素自发地放射出看不见的射线，这种现

　　 象叫天然放射现象．

(2)放射性元素放射的射线有三种：、射线、射线，

　这三种射线可以用磁场和电场加以区别，如图15.2-1 所示

(3)放射性元素的衰变：放射性元素放射出粒子或粒子后，衰变成新的　　 原子核，原子核的这种变化称为衰变．

衰变规律：衰变中的电荷数和质量数都是守恒的．

(4)半衰期：放射性元素的原子核有半数发生衰变所需要的时间称为半衰期．不同的放射性元素的半衰期是不同的，但对于确定的放射性元素，其半衰期是确定的．它由原子核的内部因素所决定，跟元素的化学状态、温度、压强等因素无关．

(5)同位素：具有相同质子数，中子数不同的原子在元素周期表中处于同一位置，互称同位素。

3、原子核的组成　 核力

原子核是由质子和中子组成的．质子和中子统称为核子．

将核子稳固地束缚在一起的力叫核力，这是一种很强的力，而且是短程力，只能在2．0X10^-15的距离内起作用，所以只有相邻的核子间才有核力作用．

2、玻尔理论有三个要点：

　(1)原子只能处于一系列的不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的．电子虽然绕核旋转，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态．

　(2)原子从一种定态跃迁到另一定态时，它辐射(或吸收)一定频率的光子，光子的能量由这两个定态的能量差决定．即hν=E₂-E₁

　　 (3)原子的不同能量状态对应于电子沿不同圆形轨道运动．原子的定态是不连续 的，因而电子的可能轨道是分立的．

在玻尔模型中，原子的可能状态是不连续的，各状态对应的能量也是不连续的，这些不连续的能量值的能量值叫做能级。

1、原子的核式结构

(1)粒子散射实验结果：绝大多数粒子沿原方向前进，少数粒子发生较大偏转。

(2)原子的核式结构模型：在原子的中心有一个很小的核，叫做原子核，原子的全部正电荷和几乎全部的质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外空间绕核旋转．

(3)原子核的大小：原子的半径大约是10^-10米，原子核的半径大约为10^-14米-10^-15米．

9.设计实验举例

例11 利用手头的常用仪器，粗略测定玩具手枪子弹射出时的初速度。除玩具手枪外，所给的测量仪器为：⑴只有秒表；⑵只有米尺。

解：

(1)若只有秒表，可如图(a)，将玩具手枪从地面竖直向上发射子 弹，用秒表记下从发射到子弹落会地面所用的时间t，则子弹上升的时间为t/2，故子弹初速度v₀=gt/2。

　　 (2)若只有米尺，可如图(b)，将玩具手枪子弹从某一高度处水平射出，用米尺测量射出时离地面的高度h和水平射程s，则子弹初速度。

例12 某同学在做探究弹力和弹簧伸长的关系的实验中，设计了如图所示的实验装置。所用的钩码每只的质量都是30g，他先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在弹簧的下端，每次都测出相应的弹簧总长度，将数据填在了下面的表中。(弹力始终未超过弹性限度，取g=9.8m/s²)

(1)试根据这些实验数据在右图给定的坐标纸上作出弹簧所受弹力大小F跟弹簧总长L之间的函数关系图线，说明图线跟坐标轴交点的物理意义。

(2)上一问所得图线的物理意义是什么?该弹簧的劲度k是多大?

解：

(1)根据实验数据在坐标纸上描出的点，基本上在同一条直线　 上。可以判定F和L间是一次函数关系。画一条直线，使尽可能多的点落在这条直线上，不在直线上的点均匀地分布在直线两侧。该图线跟横轴交点的横坐标表示弹簧的原长。

(2)图线的物理意义是表明弹簧的弹力大小和弹簧伸长量大小成正比。由可得k=25N/m。

8.用单摆测定重力加速度

(1)摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L^/(读到0.1mm)，用游标卡尺量出摆球直径(读到0. 1mm)算出半径r，则摆长L=L^/+r

(2)开始摆动时需注意：摆角要小于5°(要保证做简谐运动，不要使摆动成为圆锥摆)

(3)从摆球通过最低点时开始计时，测出单摆做50次全振动所用的时间，算出周期的平均值T。

(4)改变摆长重做几次实验，计算每次实验得到的重力加速度，再求这些重力加速度的平均值。

例9一组同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，用正确的操作方法，测定了6组摆长L和周期T的对应值。为了求出当地的重力加速度g，4位同学提出了4种不同的方法：①从测定的6组数据中任意选取1组，用公式g=4π²L/T ²求出g作为测量值；②分别求出6个L值的平均值和6个T值的平均值，用公式g=4π²/²求出g作为测量值；③分别用6组L、T的对应值，用公式g=4π²L/T ²求出6个对应的g值，再求这6个g的平均值作为测量值；④在坐标纸上作出T ²-L图象，从图象中计算出图线的斜率K，根据g=4π²/K求出g作为测量值。

　　 你认为以上4种方法中，错误的是哪一种____(填代号即可)，其余正确方法中偶然误差最小的是哪一种______(填代号即可)。

解：错误的是②，因为L和T之间不是一次函数的关系。偶然误差最小的是④，因为偶然误差总是有时偏大有时偏小。而描点后画线时要求尽可能多的点在该直线上，其余点尽可能均衡地分布在该直线两侧，实际上是把偶然误差减小到最小了。

例10某同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小为3cm左右，外形不规则的大理石块代替小球。他设计的实验步骤是：

　 A.将石块用细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点

　 B.用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长

　 C.将石块拉开一个大约α=30°的角度,然后由静止释放

　 D.从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t,，由T=t/30得出周期

　 E.改变OM间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L和T

　 F.求出多次实验中测得的的平均值作为计算时使用的数据,带入公式求出重力加速度g

　　 ⑴你认为该同学以上实验步骤中有重大错误的是_______________。为什么?

　　 ⑵该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小?________。你认为用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难?

解：

(1)B(摆长应从悬点到大理石块的质心)、C(摆角太大，不能看作简谐运动)、F(必须先分别求和各组L和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值)。

(2)小。设两次实验中摆线长分别为L₁、L₂，对应的周期分别为T₁、T₂，石块质心到M点的距离为x，由和可解得

7.验证机械能守恒定律

本实验要求验证自由下落过程中机械能守恒，图示纸带的左端是用夹子夹重物的一端。

(1)要多做几次实验，选点迹清楚，且第一、二两点间距离接近2mm的纸带进行测量。

(2)用刻度尺量出从0点到1、2、3、4、5各点的距离h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，利用“匀变速直线运动中间时刻的即时速度等于该段位移内的平均速度”，算出2、3、4各点对应的即时速度v₂、v₃、v₄，验证与2、3、4各点对应的重力势能减少量mgh和动能增加量是否相等。

(3)由于摩擦和空气阻力的影响，本实验的系统误差总是使

(4)本实验不需要在打下的点中取计数点。也不需要测重物的质量。

例8在用落体法验证机械能守恒定律时，某同学按照正确的操作选得纸带如右。其中O是起始点，A、B、C是打点计时器连续打下的3个点.该同学用毫米刻度尺测量O到A、B、C各点的距离,并记录在图中(单位cm)。

(1)这三个数据中不符合有效数字读数要求的是_____ ,应记作_______cm。

(2)该同学用重锤在OB段的运动来验证机械能守恒，已知当地的重力加速度g=9.80m/s²，他用AC段的平均速度作为跟B点对应的物体的即时速度，则该段重锤重力势能的减少量为_______，而动能的增加量为________，(均保留3位有效数字，重锤质量用m表示).这样验证的系统误差总是使重力势能的减少量_______动能的增加量，原因是_________________。

(3)另一位同学根据同一条纸带，同一组数据，也用重锤在OB段的运动来验证机械能守恒，不过他数了一下：从打点计时器打下的第一个点O数起，图中的B是打点计时器打下的第9个点。因此他用v_B=gt计算跟B点对应的物体的即时速度，得到动能的增加量为______，这样验证时的系统误差总是使重力势能的减少量_______动能的增加量,原因是________________________________。

解： (1)OC，15.70

(2)1.22m，1.20m，大于，v是实际速度，因为有摩擦生热，减少的重力势能一部分转化为内能；

(3)1.23m，小于，v是按照自由落体计算的，对应的下落高度比实际测得的高度要大。