2、(2009广东揭阳)设定义在R上的函数f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，当时，f (x)取得极大值，并且函数y＝f¢ (x)的图象关于y轴对称。

(1)求f (x)的表达式；

(2)试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；(3)求证：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ 　 (x∈R)．

1、(2009澄海)已知二次函数，不等式的解集为．

(Ⅰ)若方程有两个相等的实根，求的解析式；

(Ⅱ)若的最大值为正数，求实数的取值范围．

6、(2009广东五校第一次)某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个，经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？

解：设每个售价为x元，每日利润为y元。

若x≥18时，销售量为60-5(x-18)，每个利润为(x-10)元，……2分

那么每日利润为y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)²+500,　 ……4分

此时，售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元；……6分

若x<18时，销售量为60+10(18-x)，每个利润为(x-10)元，　 ……7分

那么每日利润为y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)²+490, 　　……9分

此时，售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元；

　 故每个商品售价定为20元时，每日利润最大。　　　 ……11分

答：为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个20元。

5、(深圳福田等八校)已知函数，常数

　 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数在上为增函数，求的取值范围．

解：(1)当时，，对任意

　　　 为偶函数　 ……………3分

　　　 当时，

　　　 取，得 　　

　　 　　函数既不是奇函数，也不是偶函数……6分

(2)解法一：要使函数在上为增函数

等价于在上恒成立　　　　 ……………………………8分

即在上恒成立，故在上恒成立

∴　　　　　　　　　 …………………………………………10分

∴　 的取值范围是　　　　　 …………………………………………12分

解法二：设

　　　 ……8分　

　　 要使函数在上为增函数，必须恒成立

　　 ，即恒成立　 ………………………………10分

　　 又，　

　　 的取值范围是　　 ……………………………………………12分

4、(2009实验中学)若函数的定义域为M。当时，求的最值及相应的x的值。

解析：，，…………………1分

解得：，∴　 ……………3分

　=　　　　 ……………4分

　∵，∴　　 ……………6分

∴f(x)=　 ()……………7分

由二次函数性质可知：　　 ……………9分

　　 ……………10分

当 ……………11分

综上可知：当f(x)取到最大值为，无最小值。……………12分

3、(2009广东五校)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：

(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

解：(1)当，是增函数…1分，

且…………2分；

，是减函数，且…………4分.

所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟…………5分.

(2)…………7分，

故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中…………9分.

(3)当时，…………11分；

当，令…………12分，

则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24…………13分，

所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题…………14分.

2、(2009执信)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；

　　 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f(t)=

由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t－150)²+100，0≤t≤300．

(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)

即h(t)=

当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=－(t－50)²+100，

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；

当200<t≤300时，配方整理得h(t)=－(t－350)²+100

所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．　

1、(2009广州六中)已知二次函数：

⑴若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

⑵问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为。

解：⑴ ∵二次函数的对称轴是

　　　 ∴函数在区间上单调递减

　　　 ∴要函数在区间上存在零点须满足

　　　 即 　　　　解得 　

⑵ 当时，即时，的值域为：，

即　

∴

∴　 ∴，经检验不合题意，舍去。

当时，即时，的值域为：，即　

∴　 ∴

经检验不合题意，舍去。

当时，的值域为：，即　

∴

∴　 ∴或

经检验或满足题意，所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为。

8、(2009潮州)为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文　　　　　　　　　 密文　　　　　　　 密文　　　　　　　　　 明文

已知加密为为明文、为密文，如果明文“”通过加密后得到密文为“”，

再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文

是　　　　 。

解：依题意中，当时，，故，解得，所以加密为，因此，当时，由，解得。

7、(广东五校第一次)函数的定义域为_____________。