2.在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中角的范围,并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.
1.任意角、弧度制、与角度制的互化,弧长、扇形面积公式;任意角的三角函数概念.
[例1]已知α是第二象限的角
(1) 指出α/2所在的象限,并用图象表示其变化范围;
(2) 若α还满足条件|α+2|≤4,求α的取值区间;
(3) 若,求α-β的范围.
解:依题意,2kπ+π/2<α<2kπ+π(k∈Z)
(1) 所以kπ+π/4<α/2<kπ+π/2(k∈Z),若k为偶数,则α/2是第一象限的角;若k为奇数,则α/2是第三象限的角;其变化范围如图中的阴影部分所示(不含边界)
(2) 因为|α+2|≤4,所以-6≤α≤2,
即α∈(2kπ+π/2,2kπ+π)∩[-6,2],
结合数轴可知,α∈(-3π/2,-π)∪(π/2,2。
(3)
又
◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念,掌握α角的取值范围与2α、α/2角的取值范围间的相互关系。
[例2]化简(1) ()
(2);
(3) 若sinα·cosα<0,sinα·tanα<0,化简+.
解:(1)当k为偶数时,原式==-1;当k为奇数时同理可得,原式=-1,故当时,原式=-1。
(2)原式==3
(3)由所给条件知α是第二象限角,则是第一或第三象限角.
原式==
=
◆关键点注:(1)分清k的奇偶,决定函数值符号是关键;
(2)平方式降次是化简的重要手段之一。
[例3](1)确定lg(cos6-sin6)的符号;
(2)若+=0,判断cos(sinα)•sin(cosα)的符号。
解:(1)∵6是第四象限的角,∴cos6>0,sin6<0,故cos6-sin6>0;
∵(cos6-sin6)2=1-2sin6cos6>1,∴cos6-sin6>1,∴lg(cos6-sin6)>0
(2)由题意可得=0,∴sinα•cosα<0,故α在第二或第四象限。
① 若α在第二象限,则0<sinα<1,-1<cosα<0,∴cos(sinα)>0,
sin(cosα)<0;∴原式<0。
② 若α在第四象限,则-1<sinα<0,0<cosα<1,∴cos(sinα)>0,
sin(cosα)>0;∴原式>0。
◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时,可转化成角度来表示。
[例4]时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积.
解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,则时针转过的角的弧度数的绝对值为,由分针、时针转过的时间相等得:(分钟)。
分针转过扇形的面积
答:分针转过,转过扇形的面积为77πcm2.
[研讨.欣赏]证明:(1)
(2) 若sinα=msinβ,tanα=ntanβ,且α,β为锐角,则
证明(1)法一:右边=
左边
法二:要证等式即证
只需证 即证
即显然成立,所以原等式成立。
(2)(注意结论,应消去β)
由 ①
由sinα=msinβ ②
得,代入①得ncosα=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos2α=m2-1.
∵α是锐角, ∴
◆思维点拨:1.证等式常用方法:从一边推另一边;化繁为简;左右归一;变形论证;综合法;比较法等.
2.常用变形技巧:切割化弦,化异为同,凑分母,“1”的代换.
6.依题意得解得a=或a=1(舍去).
5. ∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+.
∴sin(2α+β)=sin[2(α+β)-β]=sinβ=.
4.从cosα=中可推知sinα、cotα的值,再用诱导公式即可求之.
3. cosα==-.∴m=或m=-(舍去)答案:A
1.结合三角函数线知
α在第四象限. 答案:D
法2: sinα=-<0,cosα= >0,∴α终边在第四象限.
6. 已知sinθ=,cosθ=,若θ是第二象限角,则实数a=______
简答:1-3.DCA; 4. ; 5. ; 6. .
5. 已知sinβ=,sin(α+β)=1,则sin(2α+β)=_________.
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