4、设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为　　　

2、在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则　　

　 在区间上是　　 函数，在区间上是　　　　 函数

1、，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的　　　　　　　　　　 条件

4．判断下列函数的奇偶性：

①,②,③

典型例题

例1．已知函数，，且

(1)　　 求函数定义域

(2)　　 判断函数的奇偶性，并说明理由.

变式1：已知是偶函数，定义域为.则　 ，　　

变式2：函数的图象关于　　　 (　 )　　　　　　　　　　　　 　　　

A．轴对称　　　　　　　 B．轴对称 　 　C．原点对称　　 D．直线对称

变式3：若函数是奇函数，则　　　　

变式4：函数的图象关于直线对称.则 　　　　　　

变式5：函数在上的单调递增区间为 　　　　　　

例2、已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　　　

A. 　　B. 　　C. 　　　　　　D.

变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 　　　　　　

设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系

例3、已知函数，求，，的值

变式1：设则__________

变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是　　 　

例4、设函数f(x)的定义域是N^*，且，，则f(25)=　 　

变式1：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当

(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上递减；

(3)设集合A={(x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，B={(x，y)|f(ax－y+2)=1，

a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.

实战演练

3．已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。

2．函数在定义域上的单调性为　　　　

(A)在上是增函数，在上是增函数;(B)减函数;

(C)在上是减函数，在上是减函数;(D)增函数

1.讨论函数的单调性。

4. 奇函数

⑴奇函数：.设()为奇函数上一点，则()也是图象上一点.

⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，若时，.

注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，(f(x)≠0)

课前练习

3.偶函数

⑴偶函数：.设()为偶函数上一点，则()也是图象上一点.

⑵偶函数的判定：两个条件同时满足

①　　 定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.

②　　 满足，或，若时，.

2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：

①　　 定义法(作差比较和作商比较)；

②　　 图象法；

③　　 单调性的运算性质(实质上是不等式性质)；

④　　 复合函数单调性判断法则;

⑤　　 导数法(适用于多项式函数)

注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。