3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x(x>0)台的收入函数为R(x)=3 000x-20x² (单位：元)，其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差.　

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；　

(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？　

解 (1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x²)-(500x+4 000)=-20x²+2 500x-4 000(x∈［1，100］且x∈N)

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)²+2 500(x+1)-4 000-(-20x²+2 500x-4 000)

=2 480-40x (x∈［1，100］且x∈N).　

(2)P(x)=-20(x-²+74 125，当x=62或63时，P(x)_max=74 120(元).　

因为MP(x)=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)_max=2 440(元).　

因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.　

2.求函数y=(4x-x²)的单调区间.　

解　 由4x-x²>0，得函数的定义域是(0，4).令t=4x-x²，则y=t.　

∵t=4x-x²=-(x-2)²+4，∴t=4x-x²的单调减区间是［2，4)，增区间是(0，2］.　

又y=t在(0，+∞)上是减函数，∴函数y=(4x-x²)的单调减区间是(0，2］，单调增区间是［2，4).

1.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.　

解　 方法一　 显然f(x)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0，+∞)上的单调性，设x₁>x₂>0,则　

f(x₁)-f(x₂) =(x₁+)-(x₂+)=(x₁-x₂)·(1-).

∴当0<x₂<x₁≤时，>1,　

则f(x₁)-f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂),故f(x)在(0，］上是减函数.　

当x₁>x₂≥时，0<<1，则f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),　

故f(x)在［，+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数，　

∴f(x)分别在(-∞，-］、［，+∞)上为增函数；　

f(x)分别在［-，0)、(0，］上为减函数.　

方法二　 由=1-=0可得x=±

当x>时或x<-时，>0,∴f(x)分别在(，+∞)、(-∞，-］上是增函数.　

同理0<x<或-<x<0时，<0　

即f(x)分别在(0，］、［-，0)上是减函数.

5.(2009·文登月考)若函数f(x) =的值域为，则实数a的取值范围是　　　　 .

答案?

例1已知函数f(x)=a^x+ (a>1).　

证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.　

证明　 方法一　 任取x₁,x₂∈(-1,+∞),　

不妨设x₁<x₂,则x₂-x₁>0,>1且>0,　

∴a，又∵x₁+1>0,x₂+1>0,　

∴>0,　

于是f(x₂)-f(x₁)=a+>0,　

故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.　

方法二 　f(x)=a^x+1-(a>1),　

求导数得=a^xlna+,

∵a>1,∴当x>-1时，a^xlna>0,>0,　

>0在(-1，+∞)上恒成立，则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.　

方法三　 ∵a>1,∴y=a^x为增函数，　

又y=，在(-1，+∞)上也是增函数.　

∴y=a^x+在(-1，+∞)上为增函数.　

　例2判断函数f(x)=在定义域上的单调性.　

解 　函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},　

则f(x)= ,　

可分解成两个简单函数.　

f(x)= =x²-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.　

∴f(x)=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u(x)为减函数，为减函数，　

∴f(x)=在(-∞,-1］上为减函数.　

　例3 　求下列函数的最值与值域：　

(1)y=4-;(2)y=2x-;　

(3)y=x+;(4)y=.　

解 (1)由3+2x-x²≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x²=4-(x-1)².　

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，y_min=2.当x=-1或x=3时，y_max=4.故值域为［2，4］.　

(2) 方法一　 令=t(t≥0),则x=.∴y=1-t²-t=-(t+²+.　

∵二次函数对称轴为t=-,∴在［0，+∞)上y=-(t+²+是减函数，　

故y_max=-(0+²+=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为(-∞，1］.　

方法二 　∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数，∴y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数，

故y_max=2×=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.　

(3)方法一　 函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x>0时,即可知x<0时的最值.　

∴当x>0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x<0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.

综上函数的值域为(-∞，-4］∪［4，+∞)，无最值.　

方法二　 任取x₁,x₂,且x₁<x₂,　

因为f(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=　

所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2<x<0或0<x<2时，f(x)递减.　

故x=-2时，f(x)_最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)_最小值=f(2)=4,　

所以所求函数的值域为(-∞，-4］∪［4，+∞)，无最大(小)值.　

(4)将函数式变形为　

y=,　

可视为动点M(x,0)与定点A(0，1)、B(2，-2)距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.　

y_min=|AB|=，可求得x=时，y_min=.　

显然无最大值.故值域为［，+∞).　

例4 (12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.　

(1)求证：f(x)是R上的增函数；　

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)<3.　

解　 (1)设x₁,x₂∈R，且x₁<x₂,　

则x₂-x₁>0,∴f(x₂-x₁)>1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　2分　

f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)　

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1>0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　5分

∴f(x₂)>f(x₁).　

即f(x)是R上的增函数.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，　

∴f(2)=3，　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

∴原不等式可化为f(3m²-m-2)<f(2),　

∵f(x)是R上的增函数，∴3m²-m-2<2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　10分

解得-1<m<,故解集为(-1,).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　12分

4.函数f(x)=x³+ax²+bx+c，其中a、b、c∈R，则a²-3b＜0时，f(x)是　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　A.增函数　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.减函数　

?C.常数函数?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.单调性不确定的函数　

答案?A?　

3.若函数f(x)=x²+(a²-4a+1)x+2在区间(-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　

?A.［-3，-1］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?B.(-∞，-3］∪［-1，+∞)　

?C.［1，3］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?D.(-∞，1］∪［3，+∞)　

答案 ?C?　

2.(2008·保定联考)已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，则F(x)是R上的　　　　　　　　 (　 )

? A.增函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?B.减函数　

? C.先减后增的函数　　　　　　　　　　　　　　　　 ?D.先增后减的函数　

答案?B

1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)=0的根　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　

?A.有且只有一个　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.有2个　

?C.至多有一个　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上均不对　

答案?C?　

12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.　

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？　

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？　

解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为=12，所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)=(100-×50.

整理得f(x)=- +162x-21 000=-(x-4 050)²+307 050.　

所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050.

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.

§2.2　 函数的单调性与最大(小)值

基础自测

11.如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径,且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域.　

解 　AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，　

设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，　

垂足为E，连接BD，　

那么∠ADB是直角，　　　　

由此Rt△ADE∽Rt△ABD.　

∴AD²=AE×AB，即AE=，∴CD=AB-2AE=2R-，　

所以y=2R+2x+(2R-),　即y=-+2x+4R.　

再由,解得0<x<R.　所以y=-+2x+4R,定义域为(0，R).