2.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)=-3.

(1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；　

(2)证明：函数y=f(x)是奇函数；　

(3)试求函数y=f(x)在［m,n］(m,n∈Z)上的值域.　

(1)证明　 设x₁，x₂∈R，且x₁<x₂,f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］=f(x₁)+f(x₂-x₁).　

∵x₂-x₁>0,∴f(x₂-x₁)<0.∴f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁)<f(x₁).　

故f(x)是R上的减函数.　

(2)证明　 ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立，∴可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0)，　

又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R，f(x)+f(-x)=0，　

∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.　

(3)解　 由于y=f(x)是R上的单调递减函数，　

∴y=f(x)在［m，n］上也是减函数，故f(x)在［m，n］上的最大值f(x)_max=f(m),最小值f(x)_min=f(n).　

由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)==nf(1),同理f(m)=mf(1).　

又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m,f(n)=-n.　

∴函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.

1.判断下列各函数的奇偶性：　

(1)f(x)=(x-2)；　

(2)f(x)=；　

(3)f(x)=

解 (1)由≥0，得定义域为［-2，2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.　

(2)由得定义域为(-1，0)∪(0，1).　

这时f(x)=.　

∵f(-x)=-∴f(x)为偶函数.　

(3)x<-1时，f(x)=x+2，-x>1,　

∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).　

x>1时，f(x)=-x+2，　

-x<-1，f(-x)=x+2=f(x).　

-1≤x≤1时，f(x)=0，-1≤-x≤1，　

f(-x)=0=f(x).　

∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).　

因此f(x)是偶函数.　

5.(2009·文登月考)定义域为R的函数f(x)满足f(-4-x)=f(x+8),且y=f(x+8)为偶函数，则f(x)　 　　　　　　　　　(　 )

A.是周期为4的周期函数　　　　　　　　　 ?　　 B.是周期为8的周期函数　　　　　　　　　　

　C.是周期为12的周期函数　　　　　　　　　　 　D.不是周期函数　

答案?C　

例1 判断下列函数的奇偶性.　

(1)f(x)=;　

(2)f(x)=log₂(x+) (x∈R);　

(3)f(x)=lg|x-2|.　

解 (1)∵x²-1≥0且1-x²≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.　

∵f(1)=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),　

故f(x)既是奇函数又是偶函数.　

(2)方法一　 易知f(x)的定义域为R，　

又∵f(-x)=log₂［-x+］=log₂=-log₂(x+)=-f(x),　

∴f(x)是奇函数.　

方法二　 易知f(x)的定义域为R，　

又∵f(-x)+f(x)=log₂［-x+］+log₂(x+)=log₂1=0,即f(-x)=-f(x),　

∴f(x)为奇函数.　

(3)由|x-2|>0，得x≠2.　

∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.　

例2 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).　

(1)求证：f(x)是奇函数；　

(2)如果x∈R⁺，f(x)<0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.　

(1)证明　 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.　

∵f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,　

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0，得f(-x)=-f(x),　

∴f(x)为奇函数.　

(2)解　 方法一　 设x,y∈R⁺，∵f(x+y)=f(x)+f(y)，　

∴f(x+y)-f(x)=f(y).　∵x∈R⁺，f(x)<0,　

∴f(x+y)-f(x)<0,　∴f(x+y)<f(x).　

∵x+y>x,　∴f(x)在(0，+∞)上是减函数.

又∵f(x)为奇函数，f(0)=0，　

∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.　

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f(1)+f(2)］=-3.　

∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.　

方法二　 设x₁<x₂,且x₁,x₂∈R.　

则f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).　

∵x₂-x₁>0,∴f(x₂-x₁)<0.∴f(x₂)-f(x₁)<0.即f(x)在R上单调递减.　

∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-，　

∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f(1)+f(2)］=-3.　

∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.　

例3(12分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?.　

(1)求证：f(x)是周期函数；　

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.　

(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x)，　

∴f(x+4)=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　2分　

∴f(x)是以4为周期的周期函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　3分　

(2)解　 当0≤x≤1时，f(x)=x,　

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.　

∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),　

∴-f(x)=-x，即f(x)=x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　5分　

故f(x)= x(-1≤x≤1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　6分　

又设1<x<3,则-1<x-2<1,　

∴f(x-2)=(x-2),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　7分

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-［-f(-x)］=-f(x)，　

∴-f(x)=(x-2)，　

∴f(x)=-(x-2)(1<x<3).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　8分　

∴f(x)=　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分　

由f(x)=-,解得x=-1.　

∵f(x)是以4为周期的周期函数.　

故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　10分　

令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,　

又∵n∈Z，∴1≤n≤502 (n∈Z),　

∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　12分

4.已知f(x)=是奇函数，则实数a的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　(　 )　

?A.1　　　　　　　　 　　B.-1　　　　　　　　　 C.0　　　　　　　　 ?D.±1　

答案?A?　

3.设偶函数f(x)=log_a|x-b|在(-∞,0)上单调递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　

A.f(a+1)≥f(b+2)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(a+1)≤f(b+2)　

C.f(a+1)<f(b+2)?　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(a+1)>f(b+2)　

答案?D?　

2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　(　 )　

?A.-1　　　　　　　　 B.0　　　　　　　　　 C.1?　　　　　　　　 D.2　

答案?B?　

1.(2008·福建理，4)函数f(x)=x³+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2，则f(-a)的值为　　 　　　　　　　　　(　 )　

?　 A.3　　　　　　　 ?B.0　　　　　　　　　 C.-1　　　　　　　　 D.-2　

答案?B?　

12.已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-.　

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；　

(2)求f(x)在［-3，3］上的最值.　

解 (1)f(x)在R上是单调递减函数　

证明如下：　

令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x₁<x₂,则x₂-x₁>0,　

∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁).又∵x>0时，f(x)<0,　

∴f(x₂-x₁)<0,即f(x₂)<f(x₁).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.　

(2)∵f(x)在R上是减函数，　

∴f(x)在［-3，3］上也是减函数.　

∴f(-3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-=-2.　

∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.

§2.3 函数的奇偶性

　基础自测

11.(2008·青岛调研)已知f(x)=(x≠a).　

(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增；　

(2)若a＞0且f(x)在(1,+∞)内单调递减，求a的取值范围.　

(1)证明 　任设x₁<x₂<-2,则f(x₁)-f(x₂)=　

∵(x₁+2)(x₂+2)>0,x₁-x₂<0,∴f(x₁)<f(x₂),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.　

(2)解 　任设1<x₁<x₂,则f(x₁)-f(x₂)=　

∵a>0,x₂-x₁>0,∴要使f(x₁)-f(x₂)>0,只需(x₁-a)(x₂-a)>0恒成立，

∴a≤1.综上所述知0<a≤1.

10.函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0.　

(1)求证：f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；　

(2)若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.　

(1)证明 　设x₂＞x₁,则x₂-x₁＞0.　

∵f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0,

∴f(x₂)＞f(x₁),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.　

(2)解　 ∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 　

又f［log₂(x²-x-2)］＜2,∴f［log₂(x²-x-2)］＜f(2).　

∴log₂(x²-x-2)＜2,于是∴

即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.