5.若(a+1)<(3-2a)，则a的取值范围是　　　 .　

答案 (

例1已知函数f(x)=(m²-m-1)x^-5m-3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0,+∞)上的增函数；

(3)是正比例函数；(4)是反比例函数；(5)是二次函数.　

解 (1)因f(x)是幂函数，故m²-m-1=1，即m²-m-2=0,　

解得m=2或m=-1.　

(2)若f(x)是幂函数且又是(0，+∞)上的增函数，　

则∴m=-1.　

(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得m=-,　

此时m²-m-1≠0,故m=-.　

(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,　

则m=-,此时m²-m-1≠0,故m=-.　

(5)若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,此时m²-m-1≠0，故m=-1.　

综上所述，当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数;

当m=-1时，f(x)既是幂函数，又是(0,+∞)上的增函数;　

当m=-时，f(x)是正比例函数;

当m=-时，f(x)是反比例函数;　

当m=-1时，f(x)是二次函数.　

例2 点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(-2，在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，

有f(x)＞g(x)，f(x)=g(x)，f(x)＜g(x).　

解 　设f(x)=x^α，则由题意得2=，　

∴α=2，即f(x)=x²，再设，　

则由题意得，　

∴=-2，即g(x)=x^-2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示.　

由图象可知：

①当x＞1或x＜-1时，　

f(x)＞g(x)；　

②当x=±1时，f(x)=g(x)；　

③当-1＜x＜1且x≠0时，　

f(x)＜g(x).　

例3　 (12分) 已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是单调减函数.　

(1)求函数f(x);　

(2)讨论F(x)=a的奇偶性.　

解 (1)∵f(x)是偶函数，∴m²-2m-3应为偶数.　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　2分

又∵f(x)在(0，+∞)上是单调减函数，　

∴m²-2m-3<0,∴-1<m<3.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

又m∈Z，∴m=0，1，2.　

当m=0或2时，m²-2m-3=-3不是偶数，舍去；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

当m=1时，m²-2m-3=-4;　

∴m=1,即f(x)=x^-4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　6分

(2)F(x)=，

∴F(-x)=+bx³.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①当a≠0，且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；　

②当a=0,b≠0时，F(x)为奇函数；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　10分　

③当a≠0,b=0时，F(x)为偶函数；　

④当a=0,b=0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数.　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　12分

4.若幂函数f(x)的图象经过点(3,)，则其定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　　 )

A.{x|x∈R, x＞0}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. {x|x∈R, x＜0}

C. {x|x∈R,且x≠0}　　　　　　　　　 D.R

答案　 C

3.下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

　　 A.幂函数一定是奇函数或偶函数　　　　　　　　

　 B.任意两个幂函数图象都有两个以上交点　

C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同　

?　 D.图象不经过(-1，1)的幂函数一定不是偶函数　

答案　 D

2.(2008·山东文，4)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.0

答案　 C

1.下列函数中：①y=②y=3x-2;③y=x⁴+x²;④y=是幂函数的个数为　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　

A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.4

　 答案　 B

12.已知函数f(x)=log_a (a>0,且a≠1，b>0).　

(1)求f(x)的定义域；　

(2)判断f(x)的奇偶性；　

(3)讨论f(x)的单调性.　

解 (1)由>0(x+b)(x-b)>0.　

解得f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).　

(2)∵f(-x)=log_a

∴f(x)为奇函数.　

(3)令u(x)=，则u(x)=1+　

它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数.　

∴当0<a<1时，f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数；　

当a>1时，f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数.

§2.6幂函数

基础自测

11.已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当x∈［0，1］时，f(x)=2^x-1.　

(1)求f(x)在［-1，0)上的解析式；　

(2)求f(log24).　

解　 (1)令x∈［-1，0)，则-x∈(0，1］，∴f(-x)=2^-x-1.　

又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=f(-x)=2^-x-1，　

∴f(x)=-(^x+1.　

(2)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,　

∵log24=-log₂24∈(-5,-4),∴log24+4∈(-1,0),　

∴f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24×+1=-.

10.已知函数y=log(x²-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.　

解　 因为(x)=x²-2ax-3在(-∞,a］上是减函数，　

在［a,+∞)上是增函数，　

要使y= log(x²-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，　

首先必有0＜a²＜1,即0＜a＜1或-1＜a＜0,

且有得a≥-.

综上，得-≤a＜0或0＜a＜1.

9.已知函数f(x)=log_a(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.　

(1)写出函数g(x)的解析式；　

(2)当x∈［0，1)时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.　

解　 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，　

则Q(-x，-y)是点P关于原点的对称点，　

∵Q(-x，-y)在f(x)的图象上，　

∴-y=log_a(-x+1)，即y=g(x)=-log_a(1-x).　

(2)f(x)+g(x)≥m,即log_a≥m.　

设F(x)=log_a,x∈［0，1)，　

由题意知，只要F(x)_min≥m即可.　

∵F(x)在［0，1)上是增函数，　

∴F(x)_min=F(0)=0.故m≤0即为所求.

8.若a²>b>a>1，则log_b,log_ab,log_ba从小到大的依次排列为　　　　 .　

答案?log_b<log_ba<log_ab