5.若函数f(x)=2x²-ax+3有一个零点为，则f(1)=　　　　 .　

答案　 0　　

例1　 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.　

(1)f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］；　

(2)f(x)=x³-x-1,x∈［-1，2］；　

(3)f(x)=log₂(x+2)-x,x∈［1，3］.　

解(1)方法一　 因为f(1)=-20<0,f(8)=22>0，　

所以f(1)·f(8)<0，故f(x)=x²-3x-18，x∈［1，8］存在零点.　

方法二　 令x²-3x-18=0,解得x=-3或6,　

所以函数f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］存在零点.　

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,　

∴f(x)=x³-x-1，x∈［-1，2］存在零点.　

(3)∵f(1)=log₂(1+2)-1>log₂2-1=0.　

f(3)=log₂(3+2)-3<log₂8-3=0.∴f(1)·f(3)<0　

故f(x)=log₂(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.　

例2　 求函数y=lnx+2x-6的零点个数.　

解　 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，

由图可知两图象只有一个交点，

故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.　

例3 (12分)(1)若函数f(x)=ax²-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；　

(2)若函数f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，求实数a的取值范围.　

解(1)若a=0，则f(x)=-x-1,　

令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　2分　

若a≠0，则f(x)=ax²-x-1是二次函数，　

故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，　

解得a=-， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

综上所述a=0或a=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　6分　

(2)若f(x)=|4x-x²|+a有4个零点，　

即|4x-x²|+a=0有四个根，即|4x-x²|=-a有四个根. 　　　　　8分　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

令g(x)=|4x-x²|,h(x)=-a.　

作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x²|=-a有四个根，　　　　　　　　　　　　

那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　10分

故需满足0<-a<4,即-4<a<0.　

∴a的取值范围是(-4,0).　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分　

例4 用二分法求函数f(x)=x³-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点(精确度0.1).

解 　由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,　

∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，

取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，　

用二分法逐次计算列表如下：　

l　　　　 端(中)点 l　　　　 坐标	l　　　　 中点函数值 l　　　　 符号	l　　　　 零点所在区间	l　　　　 |an-bn|
l	l	l	l　　　　 0.5
l　　　　 1.25	l　　　　 f(1.25)＜0	l	l　　　　 0.25
l　　　　 1.375	l　　　　 f(1.375)＞0	l	l　　　　 0.125
l　　　　 1.312 5	l　　　　 f(1.312 5)＜0	l	l　　　　 0．062 5

∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1，　

∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5，1.375］内，故函数零点的近似值为1.312 5.

4.如果二次函数y=x²+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　 　　　　　　　

A.(-∞，-2)∪(6,+∞)　　　 　　　　　　　　　　B.(-2，6)

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案?A?　

3.函数f(x)=e^x-的零点所在的区间是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.(0，)　　　　　　 B. (，1)　　　　　　 C. (1，)　　　　　　　　　 　D. (，2)

答案　 B

2.已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为　　　　　　　　　　　 (　　 )　 　　　　　　　　　

A.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.1　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.4

答案?A

1.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.a≥　　　　　　　 B.a≤1 　　　　　　　　　　　　　　　　　C.-1≤a≤　　　　　　　　　 D. a≥或a≤-1

答案?D

12.已知函数f(x)=，g(x)=.　

(1)证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x)的单调区间；　

(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有

不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.　

(1)证明

f(-x)==-f(x),

设x₁>x₂>0,由于y=x在R上递增，∴＞.又(x₁x₂)>0，　

∴f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₁-+)=>0.　

即f(x)在(0，+∞)上递增.　

同理f(x)在(-∞,0)上也递增.　

故f(x)在(-∞,0)和(0，+∞)上单调递增.　

(2)解 　f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,　

且f(x²)-5f(x)g(x)=0.　

证明如下：

f(x²)-5f(x)g(x)=.

§2.7 函数与方程

基础自测

11.指出函数f(x)=的单调区间，并比较f(-)与f(-的大小.　

解 f(x)==1+=1+(x+2)^-2，其图象可由幂函数y=x^-2向左平移2个单位，再向上平移1个单位,该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞,-2)上是增函数，且其图象关于直线x=-2对称(如图).

又∵-2-(-)=-2＜--(-2)=2-，　

∴f(-)＞f(-).

10.已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的图象在［0，+∞)上单调递增，解不等式f(x²-x)>f(x+3).　

解　 由条件知>0,　

-n²+2n+3>0,解得-1<n<3.　

又n=2k,k∈Z,∴n=0,2.　

当n=0,2时，f(x)=x.∴f(x)在R上单调递增.　

∴f(x²-x)>f(x+3)转化为x²-x>x+3.　

解得x<-1或x>3.　

∴原不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞).

9.求函数y= (m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性.　

解 ∵m²+m+1=m(m+1)+1必为奇数，　

且m²+m+1=(m+)²+>0,

∴函数的定义域为R，　

类比y=x³的图象可知，所求函数的值域为R，　

在(-∞,+∞)上所求函数是单调递增函数.

8.给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀,都有函数值f(x₀)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0，1)，则函数①f₁(x)=3x-1;?②f₂(x)=- -x+1;③f₃(x)=1-x;④ f₄(x)=x,其中在D上封闭的是　　　　　　 .(填序号即可)　

答案　 ②③④