4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-Q²，则总利润L(Q)的最大值是　　　 万元.　

答案　 2 500　

例1如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a),在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.　

解 　设四边形EFGH的面积为S，　

则S_△AEH=S_△CFG=x²,

S_△BEF=S_△DGH=(a-x)(b-x)，　

∴S=ab-2［²+(a-x)(b-x)］　

=-2x²+(a+b)x=-2(x-²+　

由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.　

又0<b<a,∴0<b<,若≤b,即a≤3b时，　

则当x=时，S有最大值;　

若>b,即a>3b时，　

S(x)在(0,b］上是增函数，　

此时当x=b时，S有最大值为　

-2(b-)²+=ab-b²,　

综上可知，当a≤3b，x=时，　

四边形面积S_max=,　

当a>3b，x=b时，四边形面积S_max=ab-b².　

例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度

v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴

的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过　　　　　　　　　　

的路程s(km).　

(1)当t=4时，求s的值；　

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；　

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.　

解 (1)由图象可知：

当t=4时，v=3×4=12,　

∴s=×4×12=24.　

(2)当0≤t≤10时，s=·t·3t=t²，　

当10<t≤20时，s=×10×30+30(t-10)=30t-150；　

当20<t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t²+70t-550.　

综上可知s=

(3)∵t∈［0，10］时，s_max=×10²=150<650.　

t∈(10，20］时，s_max=30×20-150=450<650.　

∴当t∈(20，35］时，令-t²+70t-550=650.　

解得t₁=30,t₂=40,∵20<t≤35,　

∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.　

例3(12分)1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.　

(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？　

(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？

以下数据供计算时使用：

解 (1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，　

则y·(1+x)ⁿ=60，则当n=40时，y=30，　

即30(1+x)⁴⁰=60，∴(1+x)⁴⁰=2，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，　

则lg(1+x)==0.007 525，　

∴1+x≈1.017，得x=1.7%.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

(2)依题意，y≤12.48(1+1%)¹⁰?，　

得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,　

∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　11分　

答 　每年人口平均增长率为1.7%，2008年底人口至多有13.78亿.　　　　　　 　　　　　　　　12分　

3.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

A.8块　　　　 　　　　 B.9块　　　　 　　　　　 C.10块　　　　　　　　　　 D.11块

答案　 D

2.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征附加税为x元(税率x%)，则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

A.2　　　 　　　　 B.6　　　 　　　　　　 　C.8　　　　　　　　　　 D.10

答案?A?　

1.一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　 　　　　　　　　　

A.y=20-2x(x≤10)　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=20-2x(x＜10)

C.y=20-2x(5≤x≤10)　　　　　　　　　　　　　　 D.y=20-2x(5＜x＜10)

答案?D

12.已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax²+2bx-(a+b)=0在(0，1)内一定有实根.　

证明　 若a=0时，则b≠0，　

此时方程的根为x=，满足题意.　

当a≠0时，令f(x)=3ax²+2bx-(a+b).　

(1)若a(a+b)<0,　

则f(0)·f()=-(a+b)·(-a)=a(a+b)<0，

所以f(x)在区间(0,内有一实根.　

(2)若a(a+b)≥0，　

则f(f(1)=(-)(2a+b)　

=-a²-a(a+b)<0，　

所以f(x)在区间(，1)内有一实根.　

综上所述，方程3ax²+2bx-(a+b)=0在(0，1)内一定有实根.

§2.8 函数模型及其应用

基础自测

11.关于x的二次方程x²+(m-1)x+1=0在区间［0，2］上有解，求实数m的取值范围.　

解　 设f(x)=x²+(m-1)x+1,x∈［0，2］，　

①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，

∵f(0)=1>0,则应有f(2)≤0,　

又∵f(2)=2²+(m-1)×2+1,∴m≤-.　

②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则　

由①②可知m≤-1.

10.若关于x的方程3x²-5x+a=0的一个根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.　

解 　设f(x)=3x²-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示).　

∵f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)，(1，3)内，　

∴即　

解得-12<a<0.所求a的取值范围是(-12，0).

9.已知二次函数f(x)=4x²-2(p-2)x-2p²-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0，求实数p的取值范围.　

解　 二次函数f(x)在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是对于区间［-1，1］内的任意一个x都有f(x)≤0,　

∴即

整理得：解得：p或p.

∴二次函数在区间［-1，1］内至少存在一个实数c，使f(c)>0的实数p的取值范围是(-3,　

8.关于x的实系数方程x²-ax+2b=0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b的最大

值为　　　　 .

答案　 9　

7.若函数f(x)=x²-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx²-ax-1的零点是　　　　 .　

答案　 -，-