Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=

 

；
（2）当x=

 

时，矩形PMCN的周长是14；
（3）当x取何值时，矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）直接运用勾股定理，即可解决问题．
（2）证明△APM∽△ABC，列出比例式

PM

BC

=

AP

AB

，求出PM=

3

5

x；同理求出PN=8-

4

5

\x，根据矩形的周长为14，列出关于x的方程，即可解决问题．
（3）运用矩形的面积公式，将面积表示为x的二次函数，运用二次函数的最值公式即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB²=AC²+BC²，AB=10，
故答案为10．
（2）由题意得：BP=10-x．
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，

PM

BC

=

AP

AB

，
∴PM=

3

5

x；同理可求PN=8-

4

5

\x，
∵矩形PMCN的周长为14，
∴2（

3

5

x+8-

4

5

x）=14，
解得：x=5，
故答案为5．
（3）∵S_矩形PMCN=PM•PN=

3

5

x•(8-

4

5

x)=-

12

25

x2+

24

5

x=-

12

25

（x-5）²+12，
∴当x=5时，矩形的面积最大，最大面积=12．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、二次函数的性质等知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质、二次函数的性质等知识点，并能灵活运用、解题．