Question

已知ABCD为正方形，E、F分别是AD、CD上的一点，∠EBF=45°，△EFD周长为2，求正方形边长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明△ABF≌△CBG，进而证明∠EBG=∠ABF+∠EBC=45°；再次证明△EBG≌△EBF得到EF=EG=AF+EC，结合△EFD周长为2，即可解决问题．

解答：解：如图，延长DC到G，使CG=AF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°；
在△ABF与△CBG中，

AF=CG ∠A=∠BCG AB=BC

，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴∠ABF=∠CBG，BF=BG；
∴∠GBE=∠ABF+∠EBC；
∵∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠EBC=90°-45°=45°，
∴∠EBG=∠EBF；
在△EBG与△EBF中，

BF=BG ∠EBF=∠EBG BE=BE

，
∴△EBG≌△EBF（SAS），
∴EF=EG=AF+EC，
∴△EFD周长=2AD=2，
∴正方形的边长为1．

点评：该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．