Question

【题目】已知⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC和BD的长；

（2）如图2，若∠CAB＝60°，过圆心O作OE⊥BD于点E，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）AC=8；BD=5；（2）OE=.

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理即可求出AC，再根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，弦也相等，即可得到CD＝BD，从而得到△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD.

（2）连接BO，DO，根据角平分线的定义，即可求出∠BAD的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD＝2∠BAD＝60°，从而证出△BOD是等边三角形，再根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OE的长.

（1）如图1，∵BC为⊙O的直径，

∴BC＝10，且∠BAC＝∠BDC＝90°，

则在Rt△ABC中，BC＝10，AB＝6，

∴，

又∵AD是∠CAB的平分线

∴∠CAD＝∠BAD，

∴，

∴CD＝BD，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵BC＝10

∴；

（2）如图2，连接BO，DO，

∵AD是∠CAB的平分线，∠CAB＝60°，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，

又∵OB＝OD，

∴△BOD是等边三角形，

又∵OE⊥BD，

∴∠BOE＝30°，BE＝BD，

又∵OB＝5，

∴，

∴．