Question

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
①

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…，
②

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）；

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；…
（1）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

 

；
（2）探究：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

 

；（用含有有n的式子表示）
（3）若

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5+7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

的值为

17

35

，求n的值；
（4）

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+…+

1

(x+2012)(x+2013)

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）根据题意等式得出拆项法则，原式计算即可；
（2）利用拆项法则计算即可；
（3）原式变形后，利用拆项法计算即可确定出n的值；
（4）原式利用拆项法变形，计算即可．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

17

35

，即

1

2

（1-

1

2n+1

）=

17

35

，
整理得：

n

2n+1

=

17

35

，即35n=34n+17，
解得：n=17；
（4）原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+…+

1

x+2012

-

1

x+2013

=

1

x

-

1

x+2013

=

2013

x(x+2013)

．
故答案为：（1）

5

6

；（2）

n

n+1

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．