Question

【题目】如图，四边形是一张矩形纸片，，把纸片对折，折痕为，展开后再过点折叠该纸片，使点落在上的点处，且折痕与相交于点，再次展平后，连接，，并延长交于点．

（1）求证：是等边三角形；

（2）求，的长；

（3）为线段上一动点，是的中点，则的最小值是　　　　．（请直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）,；（3）

【解析】

（1）连接AG，根据垂直平分线的性质和折叠的性质得出AG＝AB＝BG，由此得出△ABG为等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形内角和定理即可得出△EBF为等边三角形．

（2）设AE=x，则BE=2x，根据勾股定理可求出AE的长度，则BE的长度可求，根据是等边三角形求出BF的长度，利用三角形中位线即可求出QG的长度；

（3）根据题意可得出M点与H点关于BE所在直线对称，所以P与Q重合时，PH+PG的值最小，最小值为MG的长度，进而问题可解．

（1）如图，连接AG

∵MN垂直平分AB

∴AG＝BG

根据轴对称的性质，可得

AB＝BG，

∴AG＝AB＝BG．

∴△ABG为等边三角形．

∴∠ABE=30°,∠AEB=∠GEB=60°

又∵∠EBF=60°

∴△EBF为等边三角形

（2）由（1）得∠ABE＝30°

设AE=x，则BE=2x

∵AB=2，

∴

即 ，

∵△EBF为等边三角形

∴

（3）根据条件易知M点与H点关于BE所在直线对称

∴P与Q重合时，PH+PG的值最小

又∵，

∴