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【题目】如图,点MN分别是∠AOB的边OAOB上的点,OM3ON7,在∠AOB内有一点G,到边OAOB的距离相等,且满足GMGN

1)尺规作图:画出点G(要求:保留作图痕迹);

2)试证明:∠OMG+ONG180°

3)若PQ分别是射线OAOB上的动点,且满足GPGQ,则当OP4时,OQ的长度为   

【答案】1)见解析;(2)见解析;(346

【解析】

1)作OP平分∠AOB,作线段MN的垂直平分线EFEFOP于点G,点G即为所求;

2)证明OGK≌△OGHAAS),推出OKOHGKGH,由GMGN,∠GKM=∠GHN90°,推出RtGKMRtGHNHL),再利用全等三角形的性质,四边形内角和定理解决问题;

3)首先求出OKOH5PK1,然后分两种情形分别求解即可解决问题.

解:(1)如图,点G即为所求.

2)证明:作GKOAKGHOBH

∵∠GOK=∠GOH,∠GKO=∠GHO90°OGOG

∴△OGK≌△OGHAAS),

OKOHGKGH

GMGN,∠GKM=∠GHN90°

RtGKMRtGHNHL),

∴∠KGM=∠HGN

∴∠MGN=∠KGH

∵∠KGH+AOB180°

∴∠MGN+AOB180°

∴∠OMG+ONG180°

3)如图,

OKOHMKNH

OM+ONOKKM+OH+HN2OK10

OKOH5

OP4

PK541

GPGQ

∴当点Q在线段OH上时,OQOP4

当点Q′OH的延长线上时,OQ′5+16

故答案为46

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A.1B.2C.3D.4

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A.B.C.D.

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