Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知EC=4，∠ABC=32°，∠AEC=67°，求圆的直径BC的长．（精确到1）

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）由BC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△BDC为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，再由已知的角相等，等量代换可得出AC与BC垂直，进而确定出CA为圆的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC，tan∠ABC，同AC表示出BC与EC，代入BC-EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．

解答：解：（1）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°．       
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴BC⊥CA，
∴CA是圆的切线；
                      
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=

AC

EC

，
∴AC=4×tan67°，AC≈9.42 
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

BC

，
∴BC=9.42÷tan32°，BC≈15，
∴圆的直径BC的长为15．

点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能证明是圆的切线是解此题的关键．