Question

如图：△PQR是等边三角形，∠APB=120°
（1）求证：QR²=AQ•RB；
（2）若AP=2

7

，AQ=2，PB=

14

，求RQ的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）证明∠A=∠BPR；进而证明∠B=∠APQ，得到△APQ∽△PBR，列出比例式问题即可解决．
（2）运用△APQ∽△PBR，列出比例式

PA

PB

=

AQ

PR

，即可解决问题．

解答：（1）证明：
∵△PQR为等边三角形，
∴∠QPR=60°，PQ=PR=QR；
又∵∠APB=120°，
∴∠APQ+∠BPR=120°-60°=60°；
而∠PQR=∠A+∠APQ=60°，
∴∠A=∠BPR；
同理可证：∠B=∠APQ，
∴△APQ∽△PBR，
∴

PQ

RB

=

AQ

PR

，而PQ=PR=QR，
∴QR²=AQ•RB．
（2）
由（1）知：△APQ∽△PBR，
∴

PA

PB

=

AQ

PR

，
∴PR=

AQ•PB

PA

=

2× 14

2 7

=

2

，
∴RQ=PR=

2

．

点评：该题考查了相似三角形的判定及其性质、等边三角形的性质及其应用等几何知识点问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答．