Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB ，

延长DA，CB相交于点E．

   （1）如图11，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；

   （2）如图12，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．

        当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．

 

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，

∴∠ABC＝90°.

∴∠ABE＝90°.                     

∵AC平分∠DCB，

∴∠ACB＝∠ACD.    

∴AB＝AD.           

∵EB＝AD，

∴EB＝AB.    

∴△ABE是等腰直角三角形.           

（2）直线EF与⊙O相离.

证明：过O作OG⊥EF，垂足为G.         

在Rt△OEG中，

∵∠OEG＝30°，

∴OE＝2OG.                         

∵∠ADC＝90°,

 ∴AC是直径.           

设∠ACE＝，AC＝2r.

由（1）得∠DCE＝2，

又∠ADC＝90°，

∴∠AEC＝90°－2.

∵≥30°，

∴（90°－2）－≤0.              

∴∠AEC≤∠ACE.          

∴AC≤AE.                          

在△AEO中，∠EAO＝90°＋，

∴∠EAO＞∠AOE.

∴EO＞AE.                          

∴EO－AE＞0.

  由AC≤AE得AE－AC≥0.

∴EO－AC＝EO＋AE－AE－AC

         ＝（EO－AE）＋（AE－AC）＞0.

∴EO＞AC.                            

即2OG≥2r.

∴OG＞r.                             

∴直线EF与⊙O相离.