已知Rt△AOB中.OA=8.OB=6.动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向终点O运动.动直线EF从OA所在位置开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动.并且分别与线段OB.AB交于点E.F.连结BP.交直线EF于点C．设动点P与动直线EF同时出发.运动时间为t秒．(1)当四边形OPEC的面积等于△BCF的面积时.求此时t的值,(2)在运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知Rt△AOB中，OA=8，OB=6，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向终点O运动，动直线EF从OA所在位置开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥OA），并且分别与线段OB、AB交于点E、F，连结BP，交直线EF于点C．设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当四边形OPEC的面积等于△BCF的面积时，求此时t的值；
（2）在运动过程中，是否存在时刻t，使得直线EF恰好平分△APB的外接圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据题意得先证明△BEC∽△BOP，利用相似比表示出EC，再利用△BEF∽△BOA得到EF，则可表示出CF，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式得到

关于t的一元二次方程，然后解方程即可；
（2）作AB的垂直平分线MN，垂足为M，交x轴于N，作AP的垂直平分线QG，垂足为G，交MN于Q，如图，则点Q为△APB的外接圆的圆心，先证明△AMN∽△AOB，利用相似比可计算出AN=

，则ON=OA-AN=

，则N点坐标为（

，0），再利用待定系数法求出直线MN的解析式，然后用t表示出Q点的坐标，若直线EF恰好平分△APB的外接圆，则直线EF经过点Q时，于是用点Q的纵坐标等于t得到方程，再解方程即可．

解答：解：（1）根据题意得OE=t，PA=2t，则OP=8-2t，BE=6-t，
∵EC∥OP，
∴△BEC∽△BOP，
∴

，即

6-t

8-2t

，
∴EC=

t²-

t+8，
∵EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴

，即

6-t

，
∴EF=8-

t，
∴CF=EF-EC=-

t²+2t，
∴S_△BCF=

•（6-t）•（-

t²+2t），
S_梯形OPCE=

（

t²-

t+8+2t）•t，

∴

•（6-t）•（-

t²+2t）=

（

t²-

t+8+2t）•t，
整理得2t²-3t=0，解得t₁=0（舍去），t₂=

，
∴t的值为

；

（2）存在．
作AB的垂直平分线MN，垂足为M，交x轴于N，作AP的垂直平分线QG，垂足为G，交MN于Q，如图，
则点Q为△APB的外接圆的圆心，
∵A（8，0），B（0，6），
∴M（4，3），AB=10，AM=5，
∵∠MAN=∠OAB，
∴△AMN∽△AOB，
∴

，即

，解得AN=

，
∴ON=OA-AN=8-

，
∴N点坐标为（

，0），
设直线MN的解析式为y=kx+b，
把M（4，3），N（

，0）代入得

4k+b=3

k+b=0

，解得

b=-

，
∴直线MN的解析式为y=

，
∵PA=2t，
∴GA=GA=t，
∴OG=8-t，
∴G点坐标为（8-t，0），
把x=8-t代入y=

得y=

（8-t）-

，
∴Q（8-t，-

），
∴QG=-

，
∵当直线EF经过点Q时，直线EF恰好平分△APB的外接圆，
∴t=-

，
∴t=

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与直线；会利用待定系数法求一次函数的解析式；理解坐标与图形性质；学会解决关于运动的问题方法．

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